Exercício 21 Suponha f(x, y) contínua em \mathbb{R}^{2}. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{1}^{e^{y}} f(x, y) d x\right] d y+\int_{1}^{e}\left[\int_{y}^{e} f(x, y) d x\right] d y

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de duas integrais e pede para inverter a ordem de integração e escrevê-las como uma única integral iterada. Informações fornecidas:
  • A função f(x,y) é contínua em \mathbb{R}^2.
  • A soma é
\int_{0}^{1}\left[\int_{1}^{e^{y}} f(x, y)\, d x\right] d y+\int_{1}^{e}\left[\int_{y}^{e} f(x, y)\, d x\right] d y.
O que se pede: inverter a ordem de integração e juntar as duas integrais em uma única integral iterada (ou seja, encontrar intervalos para x e para y com integração em y interna ou vice-versa que representem a soma).

Passo 2

Interpretação geométrica: cada integral dupla corresponde à integral de f sobre uma região do plano (x,y). Vou escrever explicitamente essas regiões.
  • Para a primeira integral, os pontos (x,y) satisfazem
0 \le y \le 1,\qquad 1 \le x \le e^{y}.
Denotando essa região por R_1,
R_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;1\le x\le e^{y}\}.
  • Para a segunda integral, os pontos (x,y) satisfazem
1 \le y \le e,\qquad y \le x \le e.
Denotando essa região por R_2,
R_2=\{(x,y)\mid 1\le y\le e,\;y\le x\le e\}.
A soma das integrais é a integral dupla de f sobre R=R_1\cup R_2.

Passo 3

Descrever as fronteiras das regiões em termos de curvas úteis:
  • A curva x=e^{y} equivale a y=\ln x (válida para x>0).
  • As retas importantes são y=0, y=1, x=1 e x=e.
    Observação: tanto em R_1 quanto em R_2 vale 1\le x\le e. De fato:
  • Em R_1, como y\in[0,1], tem-se x\in[1,e^{1}]=[1,e].
  • Em R_2, explicitamente x\in[y,e] com y\ge1, então x\ge1 e x\le e.
    Portanto a projeção de R no eixo x é o intervalo
1\le x\le e.

Passo 4

Para escrever a única integral invertida, para cada x em [1,e] precisamos determinar os valores de y que pertencem a R.
  • Em R_1 (vista por fixar x): as condições são 0\le y\le1 e x\le e^{y}. A desigualdade x\le e^{y} é equivalente a y\ge \ln x. Como para x\in[1,e] temos \ln x\in[0,1], os y de R_1 para dado x são
y\in[\ln x,\,1].
  • Em R_2 (vista por fixar x): as condições são 1\le y\le e e y\le x. Para x\in[1,e] isso dá
y\in[1,\,x].
Agora a união, para fixo x\in[1,e], é
[\ln x,\,1]\cup[1,\,x]=[\ln x,\,x],
pois \ln x\le1\le x para todo x\in[1,e]. Logo, para cada x\in[1,e] os y em R variam de \ln x até x.

Passo 5

Conclusão sobre a inversão da ordem: a região R pode ser descrita por
1\le x\le e,\qquad \ln x \le y \le x.
Portanto, a integral dupla sobre R (que é a soma dada) pode ser escrita invertendo a ordem como
\int_{x=1}^{e}\left[\int_{y=\ln x}^{x} f(x,y)\, d y\right] d x.

Resposta

\int_{1}^{e}\left[\int_{\ln x}^{x} f(x,y)\, d y\right] d x

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