Exercício 21 Suponha
contínua em
. Invertendo a ordem de integração das integrais abaixo, escreva a soma abaixo como uma única integral iterada
Passo 1
O enunciado nos dá a soma de duas integrais e pede para inverter a ordem de integração e escrevê-las como uma única integral iterada. Informações fornecidas:
- A função
é contínua em . - A soma é
O que se pede: inverter a ordem de integração e juntar as duas integrais em uma única integral iterada (ou seja, encontrar intervalos para
e para
com integração em
interna ou vice-versa que representem a soma).
Passo 2
Interpretação geométrica: cada integral dupla corresponde à integral de
sobre uma região do plano
. Vou escrever explicitamente essas regiões.
- Para a primeira integral, os pontos
satisfazem
Denotando essa região por
,
- Para a segunda integral, os pontos
satisfazem
Denotando essa região por
,
A soma das integrais é a integral dupla de
sobre
.
Passo 3
Descrever as fronteiras das regiões em termos de curvas úteis:
- A curva
equivale a (válida para ). - As retas importantes são
, , e .
Observação: tanto emquanto em vale . De fato: - Em
, como , tem-se . - Em
, explicitamente com , então e .
Portanto a projeção deno eixo é o intervalo
Passo 4
Para escrever a única integral invertida, para cada
em
precisamos determinar os valores de
que pertencem a
.
- Em
(vista por fixar ): as condições são e . A desigualdade é equivalente a . Como para temos , os de para dado são
- Em
(vista por fixar ): as condições são e . Para isso dá
Agora a união, para fixo
, é
pois
para todo
. Logo, para cada
os
em
variam de
até
.
Passo 5
Conclusão sobre a inversão da ordem: a região
pode ser descrita por
Portanto, a integral dupla sobre
(que é a soma dada) pode ser escrita invertendo a ordem como