Calcule:
lim (x, y) (0,0) x^4 y^4x^2+y^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x, y) se aproxima de (0,0). A função dada é:
lim (x, y) (0,0) x^4 y^4x^2+y^2
Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em funções de várias variáveis e usar algumas técnicas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos x^4 y^4, que, quando x e y se aproximam de 0, tende a 0 muito rapidamente devido aos expoentes altos. No denominador, temos x^2 + y^2, que também tende a 0, mas de forma mais lenta.

Passo 3

Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta, e r = raizx^2 + y^2. Substituindo na expressão:
(r cos theta)^4 (r sin theta)^4r^2 = r^8 cos^4 theta sin^4 thetar^2 = r^6 cos^4 theta sin^4 theta

Passo 4

Agora, observamos que cos^4 theta sin^4 theta é uma função limitada, já que os valores de seno e cosseno estão sempre entre -1 e 1. Portanto, cos^4 theta sin^4 theta <= 1.

Passo 5

Assim, temos:
0 <= r^6 cos^4 theta sin^4 theta <= r^6
Quando r tende a 0, r^6 também tende a 0. Pela propriedade do sanduíche (Teorema do Confronto), se a expressão está entre 0 e algo que tende a 0, então a expressão inteira também tende a 0.

Resposta

Portanto,
lim (x, y) (0,0) x^4 y^4x^2+y^2 = 0

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