Determine o valor de a de modo que a função
f(x, y)=cl x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1 & se (x, y) neq(0,0) a & se (x, y)=(0,0)
seja continua em R^2.

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis em forma de parte por parte, definindo f(x,y) por uma expressão quando (x,y)≠(0,0) e impondo f(0,0)=a, e pede para achar a valor de a que garante continuidade em ℝ². O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis e cálculo de limite no ponto (0,0).

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0) note que a expressão gera indeterminação do tipo 0/0 quando (x,y)→(0,0). Definimos r²=x²+y² de forma que a função vira
r^2raiz1+r^2-1
O objetivo é simplificar essa fração para poder tirar o limite.

Passo 3

Aplicamos o truque do conjugado: multiplicamos numerador e denominador por (√(1+r²)+1), obtendo
r^2l(raiz1+r^2+1r)(raiz1+r^2-1)(raiz1+r^2+1) =r^2l(raiz1+r^2+1r)1+r^2-1 =raiz1+r^2+1

Passo 4

Agora que a expressão está simplificada, calculamos o limite quando (x,y)→(0,0), ou seja r→0. Assim,
limrto0l(raiz1+r^2+1r)=raiz1+0+1=2

Passo 5

Para que f seja contínua em (0,0), precisamos de f(0,0)=a igual ao limite que acabamos de achar. Logo, a deve ser igual a 2.

Resposta

a = 2

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