Determine o valor de
de modo que a função
seja continua em
.
Passo 1
O enunciado dá uma função de duas variáveis em forma de parte por parte, definindo f(x,y) por uma expressão quando (x,y)≠(0,0) e impondo f(0,0)=a, e pede para achar a valor de a que garante continuidade em ℝ². O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis e cálculo de limite no ponto (0,0).
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0) note que a expressão gera indeterminação do tipo 0/0 quando (x,y)→(0,0). Definimos r²=x²+y² de forma que a função vira
O objetivo é simplificar essa fração para poder tirar o limite.
Passo 3
Aplicamos o truque do conjugado: multiplicamos numerador e denominador por (√(1+r²)+1), obtendo
Passo 4
Agora que a expressão está simplificada, calculamos o limite quando (x,y)→(0,0), ou seja r→0. Assim,
Passo 5
Para que f seja contínua em (0,0), precisamos de f(0,0)=a igual ao limite que acabamos de achar. Logo, a deve ser igual a 2.
Resposta
a = 2