Calcule
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite de uma função de duas variáveis, ou seja, quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $. A função dada é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e, se necessário, coordenadas polares.
Passo 2
Vamos começar avaliando o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se ele existe e, em caso afirmativo, qual é seu valor.
Caminho 1: $ y = 0 $
Substituindo $ y = 0 $ na função:
Caminho 2: $ x = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na função:
Ambos os caminhos resultaram em 0.
Passo 3
Vamos testar um caminho mais geral, como $ y = kx $, onde $ k $ é uma constante.
Substituindo $ y = kx $ na função:
Quando $ x $ tende a 0, $ \frac{2k x}{3(1 + k^{2})} $ também tende a 0.
Passo 4
Para confirmar que o limite é 0 independentemente do caminho, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos(\theta) $ e $ y = r \sin(\theta) $.
Substituindo na função:
Sabemos que $ \cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta) = 1 $, então simplificamos:
À medida que $ r $ tende a 0, toda a expressão tende a 0.
Resposta
O limite é igual a $ 0 $.