Determine a derivada direcional da função dada no ponto P0 e na direção de v
f(x, y, z)=arcsec(x y z) ; P0=(1,1,2) ; v=(0,1,1)

Passo 1

Resumo do enunciado: Determinar a derivada direcional da função f(x,y,z)=arcsec(xyz) no ponto P0=(1,1,2) e na direção de v=(0,1,1). O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional. Vamos usar a regra da cadeia para arcsec e a definição Dvf(P0)=nabla f(P0)cdot u, onde u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Defina u(x,y,z)=xyz. Usando a regra da cadeia para f=arcsec(u), temos em cada variável:
partial fpartial x=1|u|raizu^2-1cdotpartial upartial x,partial fpartial y=1|u|raizu^2-1cdotpartial upartial y,partial fpartial z=1|u|raizu^2-1cdotpartial upartial z

Passo 3

Determinar as derivadas parciais de u(x,y,z)=xyz:
partial upartial x=yz,partial upartial y=xz,partial upartial z=xy
Logo
nabla f(x,y,z)=gl(yz|xyz|raiz(xyz)^2-1,;xz|xyz|raiz(xyz)^2-1,;xy|xyz|raiz(xyz)^2-1gr)

Passo 4

Avaliar nabla f em P0=(1,1,2). Como xyz=2, |xyz|=2 e raiz(xyz)^2-1=raiz4-1=raiz3, obtemos
nabla f(P0)=l(1cdot22raiz3,;1cdot22raiz3,;1cdot12raiz3r)=l(tfrac1raiz3,;tfrac1raiz3,;tfrac12raiz3r)

Passo 5

Calcular o vetor unitário na direção de v=(0,1,1). O módulo de v é raiz0^2+1^2+1^2=raiz2, logo
u=v|v|=l(0,;tfrac1raiz2,;tfrac1raiz2r)

Passo 6

Usar a definição de derivada direcional:
Dvf(P0)=nabla f(P0)cdot u =tfrac1raiz3cdot0 + tfrac1raiz3cdottfrac1raiz2 + tfrac12raiz3cdottfrac1raiz2=1raiz6+12raiz6=32raiz6=raiz64

Resposta

dfracraiz64

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