Calcule:
lim y 3 raiz[3]y^2+5 y+3y^2-1

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão nos pede para calcular o limite quando y se aproxima de 3 da expressão:
lim y 3 raiz[3]y^2+5 y+3y^2-1
Aqui, estamos lidando com limites e funções radicais (neste caso, uma raiz cúbica). Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções que envolvem frações e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Quando dizemos lim y 3 , queremos saber qual valor a expressão dentro da raiz cúbica se aproxima quando y está cada vez mais perto de 3.
Então, vamos começar substituindo y por 3 na fração dentro da raiz cúbica para ver se conseguimos encontrar um valor direto.

Passo 3

Substituindo y = 3 na fração:
3^2 + 5 cdot 3 + 33^2 - 1 = 9 + 15 + 39 - 1 = 278
Então, quando y se aproxima de 3, a fração y^2+5 y+3y^2-1 se aproxima de 278 .

Passo 4

Agora que sabemos que a fração se aproxima de 278 , precisamos calcular a raiz cúbica desse valor. A raiz cúbica de um número a é outro número b que, multiplicado por si mesmo três vezes, dá a .
Então, queremos encontrar:
raiz[3]278

Passo 5

Vamos calcular a raiz cúbica de 278 . Sabemos que raiz[3]27 = 3 porque 3 times 3 times 3 = 27 , e raiz[3]8 = 2 porque 2 times 2 times 2 = 8 .
Portanto:
raiz[3]278 = raiz[3]27raiz[3]8 = 32

Resposta

O limite é 32 .

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