Calcule as seguintes integrais usando a técnica de integração que the for mais conveniente.
integral ln (2+raizx) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral lnl(2+raizxr),dx
Usaremos duas técnicas: substituição para eliminar a raiz, e em seguida integração por partes para tratar o logaritmo.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx,
então
x = t^2, dx = 2t,dt
A integral fica
integral lnl(2+raizxr),dx = integral lnl(2+tr),2t,dt = 2integral t,lnl(2+tr),dt

Passo 3

Para calcular
J = integral t,lnl(2+tr),dt
usamos integração por partes. Tomamos
u = lnl(2+tr), dv = t,dt,
então
du = 12+t,dt, v = t^22
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du ,
J = t^22,lnl(2+tr) - integral t^22,12+t,dt = t^22lnl(t+2r) - 12integral t^2t+2,dt

Passo 4

Para
integral t^2t+2,dt
fazemos divisão de polinômios:
t^2t+2 = t - 2 + 4t+2,
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integral t^2t+2,dt = integral l(t-2r),dt + integral 4t+2,dt = t^22 - 2t + 4lnl|t+2r| + C
Substituindo em J:
J = t^22lnl(t+2r) - 12l(t^22 - 2t + 4lnl|t+2r|r) + C = t^22lnl(t+2r) - t^24 + t - 2lnl(t+2r) + C

Passo 5

Voltando à integral original,
integral lnl(2+raizxr),dx = 2J = t^2lnl(t+2r) - t^22 + 2t - 4lnl(t+2r) + C
E como t=raizx e t^2=x, obtemos
integral lnl(2+raizxr),dx = xlnl(2+raizxr) - x2 + 2raizx - 4lnl(2+raizxr) + C

Resposta

boxed integral lnl(2+raizxr),dx = xlnl(2+raizxr) - x2 + 2raizx - 4lnl(2+raizxr) + C

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