Calcule o limite de
Passo 1
Neste exercício, queremos calcular o limite \$\\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x6+5x3} - x^3$\. O conteúdo envolve limites de funções com radicais e crescimento comparativo de termos de maior grau.
Passo 2
Para lidar com a raiz, fatoramos $x^6$ dentro do radicando. Escrevemos:
Substituímos na expressão original para agrupar o indeterminado do tipo \$\\infty - ,\infty$:
Passo 3
Para eliminar a raiz e simplificar, multiplicamos e dividimos pelo conjugado de \$\\sqrt{1 + \frac{5}{x^3}} - 1$\:
Observe que $\\frac{x^3 \cdot 5/x^3}{\sqrt{1 + 5/x^3}+1} = \frac{5}{\sqrt{1 + 5/x^3} + 1}$
Passo 4
Tomando o limite quando \$\\;x \\to +\infty$, temos $\sqrt{1 + 5/x^3} \\to 1$ e portanto a expressão tende a $\frac{5}{1 + 1} = \frac{5}{2}$.
Resposta
$\frac{5}{2}$