Calcule o limite de

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular o limite \$\\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x6+5x3} - x^3$\. O conteúdo envolve limites de funções com radicais e crescimento comparativo de termos de maior grau.

Passo 2

Para lidar com a raiz, fatoramos $x^6$ dentro do radicando. Escrevemos:
x^6
Substituímos na expressão original para agrupar o indeterminado do tipo \$\\infty - ,\infty$:
raizx^6 + 5x^3 = raizx^6l(1 + 5x^3r) = x^3 raiz1 + 5x^3

Passo 3

Para eliminar a raiz e simplificar, multiplicamos e dividimos pelo conjugado de \$\\sqrt{1 + \frac{5}{x^3}} - 1$\:
raiz1 + 5x^3 - 1
Observe que $\\frac{x^3 \cdot 5/x^3}{\sqrt{1 + 5/x^3}+1} = \frac{5}{\sqrt{1 + 5/x^3} + 1}$

Passo 4

Tomando o limite quando \$\\;x \\to +\infty$, temos $\sqrt{1 + 5/x^3} \\to 1$ e portanto a expressão tende a $\frac{5}{1 + 1} = \frac{5}{2}$.

Resposta

$\frac{5}{2}$

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