Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=0^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty 2^n(2n)! , x^2n
Isso é uma série em potências de x, só com termos pares x^2n. O conteúdo principal é determinar para quais x essa série converge, e vamos usar o teste da razão para séries.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, considere o termo geral
cn = 2^n(2n)! , x^2n
O teste da razão diz que, se
L = limntoinfty |cn+1cn|
satisfaz L<1, então a série converge absolutamente. Calculemos:
|cn+1cn| = 2^n+1(2n+2)!,|x|^2n+2;g/;2^n(2n)!,|x|^2n = 2,|x|^2(2n+2)(2n+1)
Agora, ao passar para o limite:
L = limntoinfty 2,|x|^2(2n+2)(2n+1) = 0
Como 0<1 para qualquer valor de x, a série converge absolutamente para todo x.

Passo 3

Dessa forma, o raio de convergência é infinito, o que significa que o intervalo de convergência dessa série é
(-infty,,+infty)

Resposta

(-\infty,+\infty)

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