Mostre como encontrar a derivada f^prime(x) das funções abaixo

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x)=(x^2+2x)ln(x)x^2
Então o conteúdo principal aqui é derivação de funções que envolvem produto, quociente e logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Podemos dividir termo a termo:
f(x)=x^2+2xx^2ln(x)=l(1+2xr)ln(x)

Passo 3

Agora vemos que f(x) é o produto de duas funções: h(x)=1+2/x e g(x)=ln(x). Vamos usar a regra do produto:
f'(x)=h'(x),g(x)+h(x),g'(x)

Passo 4

Precisamos das derivadas parciais:
Para h(x)=1+2/x tem-se h'(x)=-2/x^2.
Para g(x)=ln(x) tem-se g'(x)=1/x.
Substituindo na regra do produto:
f'(x)=l(-2x^2r)ln(x)+l(1+2xr)1x

Passo 5

Basta agora juntar os termos e simplificar:
f'(x)=-2ln(x)x^2+1x+2x^2
Escrevendo com denominador comum x^2:
f'(x)=x+2-2ln(x)x^2

Resposta

f’(x)=\frac{x+2-2\ln(x)}{x^2}

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