Calcule o limite de

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtopicosl(tfracx^2-pi^2x-pir). O conteúdo aqui é limite de função envolvendo uma fração que dá forma indeterminada 0/0 e depois usar continuidade do cosseno.

Passo 2

Ao tentar substituir x=pi diretamente em tfracx^2-pi^2x-pi vemos que o numerador e o denominador vêm a zero, gerando a forma indeterminada 0/0. Isso indica que precisamos manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos usar fatoração de diferença de quadrados para simplificar a fração. Temos:
x^2-pi^2x-pi = (x-pi)(x+pi)x-pi = x+pi,
Assim, o limite da parte interna é
limxtopix^2-pi^2x-pi = limxtopi(x+pi) = pi + pi = 2pi
Finalmente, como o cosseno é uma função contínua, podemos passar o limite para dentro da função:
limxtopicosl(tfracx^2-pi^2x-pir) = cosl(limxtopitfracx^2-pi^2x-pir) = cos(2pi)
E sabemos que cos(2pi)=1.

Resposta

1

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