Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências . O conteúdo principal é Séries de Potências e vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio e depois verificar os extremos.
Passo 2
Para aplicar o Teste da Razão de forma mais direta, reindexamos colocando . Assim a soma vira , onde
Passo 3
Agora aplicamos o Teste da Razão: analisamos
Passo 4
Para convergência pelo Teste da Razão precisamos de L<1, ou seja
|3-x|<1Long<=ftrightarrow|x-3|<1Longrightarrow2
Passo 5
Falta agora verificar os extremos:
• Em x=2 temos 3-x=1 e a série é sumn=1^infty1/raizn, que diverge (série p com p=1/2 ).
• Em x=4 temos 3-x=-1 e a série é sumn=1^infty(-1)^n-1/raizn, que converge por o Critério de Leibniz (sérios alternante com termos decrescentes em módulo e tendendo a zero).