Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (3-x)^n-1raizn. O conteúdo principal é Séries de Potências e vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio e depois verificar os extremos.

Passo 2

Para aplicar o Teste da Razão de forma mais direta, reindexamos colocando m=n-1. Assim a soma vira summ=0^infty am, onde
am=(3-x)^mraizm+1

Passo 3

Agora aplicamos o Teste da Razão: analisamos
L=limmtoinfty|am+1am|=limmtoinfty|(3-x)^m+1/raizm+2(3-x)^m/raizm+1|=|3-x|limmtoinftyraizm+1m+2=|3-x|

Passo 4

Para convergência pelo Teste da Razão precisamos de L<1, ou seja
|3-x|<1Long<=ftrightarrow|x-3|<1Longrightarrow2

Passo 5

Falta agora verificar os extremos:
• Em x=2 temos 3-x=1 e a série é sumn=1^infty1/raizn, que diverge (série p com p=1/2 ).
• Em x=4 temos 3-x=-1 e a série é sumn=1^infty(-1)^n-1/raizn, que converge por o Critério de Leibniz (sérios alternante com termos decrescentes em módulo e tendendo a zero).

Resposta

(2,4]

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