Esboce ou faça o gráfico de f(x), que tem período 2 pi e, para -pi, é dada como segue.

Passo 1

Estamos lidando com uma função f(x) de período 2pi, definida no intervalo fundamental -pi < x < pi por partes: f(x)=1 para -pi < x < 0 e f(x)=cos(0,5x) para 0 < x < pi. Vamos esboçar esse trecho e depois repetir periodicamente.

Passo 2

No trecho -pi < x < 0 a função é constante, isto é, traçamos uma reta horizontal em y=1. Como os limites em x=-pi e x=0 são abertos, marcamos círculos abertos nesses pontos, mas note que mais adiante veremos que em x=0 a função se une sem quebra.

Passo 3

No trecho 0 < x < pi desenhamos a curva y = cos(0,5x). Veja os pontos-chave: em x=0^+ temos cos(0)=1, e em x=pi^- temos cosl(0,5pir)=0. A partir de y=1 a curva decresce suavemente até y=0. Também marcamos círculos abertos em x=0 e x=pi.

Passo 4

Como limxto0^-f(x)=1 e limxto0^+f(x)=1, a curva fica contínua em x=0 se quisermos fechar o círculo. Nos pontos x=pmpi a função não está definida, mas são marcações periódicas.

Passo 5

Por fim, estendemos o esboço para todo x repetindo esse padrão a cada 2pi. Ou seja, em cada intervalo (2k-1)pi < x < 2kpi fazemos o trecho horizontal em 1, e em 2kpi < x < (2k+1)pi fazemos a curva cos(0,5x), para todo kinZ.

Resposta

O gráfico de f(x) é 2\pi-periódico e, em cada período, consiste de uma reta horizontal y=1 em (–π,0) ligada à curva y=cos(0,5x) em (0,π), repetida com deslocamento de 2π para a esquerda e para a direita.

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