Esboce ou faça o gráfico de f(x), que tem período 2 pi e, para -pi, é dada como segue.
f(x)=|sen 2 x|

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x), que é periódica de período 2π e, no intervalo –π < x < π, vale f(x) = |sen 2x|. Vamos usar conceitos de periodicidade e de comportamento do seno e do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função sen (2x) tem período π. Isso significa que sen (2(x+π)) = sen (2x+2π) = sen 2x. Ao aplicarmos o valor absoluto, a nova função |sen 2x| fica com período π/2, mas nós devemos estender a definição original (–π < x < π) para todo real com período 2π.
Agora, dentro de –π < x < π, encontramos onde sen 2x muda de sinal e onde atinge zeros e máximas. Resolvemos sen 2x = 0 ⇒ 2x = kπ ⇒ x = k(π/2). Em –π a π temos k = –2, –1, 0, 1, 2, logo os pontos: x = –π, –π/2, 0, π/2, π são zeros de f.

Passo 3

Entre cada par de zeros, sen 2x atinge ±1. Concretamente, sen 2x = 1 quando 2x = –3π/2 + 2πk ou π/2 + 2πk, isto dá x = –3π/4, –π/4, π/4, 3π/4 dentro de (–π,π). Nesses pontos |sen 2x| = 1.
Sabendo os zeros e máximos, vemos que em cada subintervalo de comprimento π/2 a função forma um “arco” de seno (positivo antes de aplicar valor absoluto) ou de –seno (quando sen 2x era negativo, para virar positivo). Ou seja, em –π < x < –π/2 e em 0 < x < π/2 temos f(x) = sen 2x, e em –π/2 < x < 0 e em π/2 < x < π temos f(x) = –sen 2x.

Passo 4

Por fim, para completar o esboço, marcamos os pontos-chave e unimos com curvas suaves, repetindo o padrão a cada 2π. Entre –π e π aparecerão quatro “meio-senos” com picos em ±3π/4, ±π/4 e zeros em –π, –π/2,0, π/2, π.
Assim, o gráfico de f(x) é formado por arcos de amplitude 1 e largura π/2, cujo padrão se repete a cada 2π.

Resposta

Entre –π e π, f(x) = |sen 2x| tem zeros em x = –π, –π/2,0, π/2, π e máximos f = 1 em x = –3π/4, –π/4, π/4,3π/4. Em cada subintervalo de largura π/2 forma um “arco” de seno ou de –seno virado para cima. Esse padrão se repete com período 2π.

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