Calcule o limite:
Passo 1
O enunciado fornece a expressão
e pede para “calcular o limite”, mas não diz em que ponto ou direção devemos tomar o limite. Como não posso perguntar nada, vou analisar os casos mais relevantes que aparecem em provas e que mudam o comportamento da expressão: os limites quando
,
, o limite bilateral
(compare as duas direções) e também os limites quando
e
. Essas são as situações padrão que fazem sentido para a função dada.
Passo 2
Antes de calcular, vamos recordar algumas propriedades fundamentais da função exponencial que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
- A função
é contínua e estritamente crescente para todo . - Limites conhecidos:
- Se temos uma composição
e conhecemos , então, pela continuidade de , vale
quando
é um número finito. Se
então
; se
então
.
Aplicamos isso com
. Então, antes de tudo, determine o comportamento de
nas várias direções.
Passo 3
Calcule o limite quando
.
- Quando
(ou seja, positivo e se aproximando de ), temos
- Pelo item anterior, isso implica
- Logo
Assim, pela direita a expressão diverge para
.
Passo 4
Calcule o limite quando
.
- Quando
(ou seja, negativo e se aproximando de ), temos
- Então
já que
quando
.
- Portanto
Pela esquerda a função tende a
.
Passo 5
Conclua sobre o limite bilateral quando
.
- Para existir
os limites laterais devem ser iguais. - Encontramos
e . Como são diferentes, o limite bilateral não existe:
Passo 6
Calcule o limite quando
.
- Quando
, temos
- A função exponencial é contínua, então
- Logo
Passo 7
Calcule o limite quando
.
- Quando
, temos
- Pela continuidade,
- Portanto