Calcule o limite:
1+e^{1 / x}

Passo 1

O enunciado fornece a expressão (1+e^{1/x}) e pede para “calcular o limite”, mas não diz em que ponto ou direção devemos tomar o limite. Como não posso perguntar nada, vou analisar os casos mais relevantes que aparecem em provas e que mudam o comportamento da expressão: os limites quando x\to0^+, x\to0^-, o limite bilateral x\to0 (compare as duas direções) e também os limites quando x\to+\infty e x\to-\infty. Essas são as situações padrão que fazem sentido para a função dada.

Passo 2

Antes de calcular, vamos recordar algumas propriedades fundamentais da função exponencial que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
  • A função t\mapsto e^{t} é contínua e estritamente crescente para todo t\in\mathbb{R}.
  • Limites conhecidos:
\lim_{t\to+\infty} e^{t}=+\infty,\qquad \lim_{t\to-\infty} e^{t}=0.
  • Se temos uma composição e^{g(x)} e conhecemos \lim_{x\to a} g(x), então, pela continuidade de e^{t}, vale
\lim_{x\to a} e^{g(x)} = e^{\lim_{x\to a} g(x)}
quando \lim_{x\to a} g(x) é um número finito. Se \lim_{x\to a} g(x)=+\infty então \lim e^{g(x)}=+\infty; se \lim g(x)=-\infty então \lim e^{g(x)}=0.
Aplicamos isso com g(x)=1/x. Então, antes de tudo, determine o comportamento de 1/x nas várias direções.

Passo 3

Calcule o limite quando x\to0^+.
  • Quando x\to0^+ (ou seja, x positivo e se aproximando de 0), temos
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty.
  • Pelo item anterior, isso implica
\lim_{x\to0^+} e^{1/x}=+\infty.
  • Logo
\lim_{x\to0^+}\bigl(1+e^{1/x}\bigr)=1+(\!+\infty)=+\infty.
Assim, pela direita a expressão diverge para +\infty.

Passo 4

Calcule o limite quando x\to0^-.
  • Quando x\to0^- (ou seja, x negativo e se aproximando de 0), temos
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty.
  • Então
\lim_{x\to0^-} e^{1/x}=0,
já que e^{t}\to0 quando t\to-\infty.
  • Portanto
\lim_{x\to0^-}\bigl(1+e^{1/x}\bigr)=1+0=1.
Pela esquerda a função tende a 1.

Passo 5

Conclua sobre o limite bilateral quando x\to0.
  • Para existir \lim_{x\to0}(1+e^{1/x}) os limites laterais devem ser iguais.
  • Encontramos \lim_{x\to0^+}(1+e^{1/x})=+\infty e \lim_{x\to0^-}(1+e^{1/x})=1. Como são diferentes, o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to0}(1+e^{1/x})\\ \text{não existe}.ã

Passo 6

Calcule o limite quando x\to+\infty.
  • Quando x\to+\infty, temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0^+.
  • A função exponencial é contínua, então
\lim_{x\to+\infty} e^{1/x}=e^{0}=1.
  • Logo
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+e^{1/x}\bigr)=1+1=2.

Passo 7

Calcule o limite quando x\to-\infty.
  • Quando x\to-\infty, temos
\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0^-.
  • Pela continuidade,
\lim_{x\to-\infty} e^{1/x}=e^{0}=1.
  • Portanto
\lim_{x\to-\infty}\bigl(1+e^{1/x}\bigr)=1+1=2.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to0^+}\bigl(1+e^{1/x}\bigr)=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to0^-}\bigl(1+e^{1/x}\bigr)=1
\displaystyle \lim_{x\to0}\bigl(1+e^{1/x}\bigr)=\text{não existe}ã
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(1+e^{1/x}\bigr)=2
\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\bigl(1+e^{1/x}\bigr)=2

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