Derive.
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
dada por
Informações relevantes que temos:
- A função é o produto de três fatores:
, e . - A tarefa é calcular
, a derivada de em relação a . - Todos os fatores são funções conhecidas (polinomial e funções trigonométricas) e são diferenciáveis onde estão definidas.
Passo 2
Vamos usar a regra do produto para três fatores. Primeiro lembro a regra para dois fatores: se
, então
Para três fatores, podemos aplicar a regra do produto duas vezes: se
então
Aqui
significam as derivadas de
em relação a
.
Passo 3
Identificamos os três fatores na nossa função:
Vamos calcular
,
e
separadamente e depois usar a fórmula do passo anterior.
Passo 4
Derivada de
.
Usamos a regra do poder: se então
. Aplicando com
,
Usamos a regra do poder: se
Passo 5
Derivada de
.
É uma fórmula básica de derivadas de funções trigonométricas:
É uma fórmula básica de derivadas de funções trigonométricas:
(Explicação curta: essa é a derivada padrão da função seno.)
Passo 6
Derivada de
.
Lembrando que . Usamos a regra do quociente: se
então
Lembrando que
Aqui
e
. Então
e
. Substituindo:
Como
, obtemos
Ou seja,
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula do produto para três fatores. Substituindo
calculados:
Substituindo:
Passo 8
Podemos deixar a resposta em algumas formas equivalentes. A forma direta é
Se preferir escrever tudo em termos de
e
, lembre que
e
. Substituindo:
Também dá para fatorar um pouco, por exemplo:
ou
Escolha a forma que te parecer mais clara na prova.