Derive.
y=x^{2} \operatorname{sen} x \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y dada por
y = x^{2}\,\operatorname{sen} x\,\operatorname{tg} x.
Informações relevantes que temos:
  • A função é o produto de três fatores: x^{2}, \operatorname{sen} x e \operatorname{tg} x.
  • A tarefa é calcular y', a derivada de y em relação a x.
  • Todos os fatores são funções conhecidas (polinomial e funções trigonométricas) e são diferenciáveis onde estão definidas.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto para três fatores. Primeiro lembro a regra para dois fatores: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Para três fatores, podemos aplicar a regra do produto duas vezes: se y=u\,v\,w então
y' = u'\,v\,w + u\,v'\,w + u\,v\,w'.
Aqui u',v',w' significam as derivadas de u,v,w em relação a x.

Passo 3

Identificamos os três fatores na nossa função:
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=\operatorname{sen} x,\qquad w(x)=\operatorname{tg} x.
Vamos calcular u'(x), v'(x) e w'(x) separadamente e depois usar a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Derivada de u(x)=x^{2}.
Usamos a regra do poder: se u(x)=x^{n} então u'(x)=n x^{n-1}. Aplicando com n=2,
u'(x)=2x.

Passo 5

Derivada de v(x)=\operatorname{sen} x.
É uma fórmula básica de derivadas de funções trigonométricas:
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen} x=\cos x.
(Explicação curta: essa é a derivada padrão da função seno.)

Passo 6

Derivada de w(x)=\operatorname{tg} x.
Lembrando que \operatorname{tg} x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}. Usamos a regra do quociente: se w=\dfrac{f}{g} então
w'=\frac{f'g - f g'}{g^{2}}.
Aqui f=\operatorname{sen} x e g=\cos x. Então f'=\cos x e g'=-\sin x. Substituindo:
w'(x)=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.
Como \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, obtemos
w'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
Ou seja,
\frac{d}{dx}\operatorname{tg} x=\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula do produto para três fatores. Substituindo u,u',v,v',w,w' calculados:
y' = u'\,v\,w + u\,v'\,w + u\,v\,w'.
Substituindo:
y' = 2x\cdot\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{tg} x \;+\; x^{2}\cdot\cos x\cdot\operatorname{tg} x \;+\; x^{2}\cdot\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 8

Podemos deixar a resposta em algumas formas equivalentes. A forma direta é
y' = 2x\,\operatorname{sen} x\,\operatorname{tg} x + x^{2}\,\cos x\,\operatorname{tg} x + x^{2}\,\operatorname{sen} x\,\operatorname{sec}^{2}x.
Se preferir escrever tudo em termos de \operatorname{sen} e \cos, lembre que \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} e \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}. Substituindo:
y' = 2x\,\frac{\operatorname{sen}^{2}x}{\cos x} + x^{2}\,\operatorname{sen} x + \frac{x^{2}\,\operatorname{sen} x}{\cos^{2}x}.
Também dá para fatorar um pouco, por exemplo:
y' = x\,\tan x\,(2\operatorname{sen} x + x\cos x) + x^{2}\,\operatorname{sen} x\,\operatorname{sec}^{2}x
ou
y' = x\!\left(2\operatorname{sen} x\,\operatorname{tg} x + x\cos x\,\operatorname{tg} x + x\operatorname{sen} x\,\operatorname{sec}^{2}x\right).
Escolha a forma que te parecer mais clara na prova.

Resposta

y' = 2x\,\operatorname{sen} x\,\operatorname{tg} x + x^{2}\,\cos x\,\operatorname{tg} x + x^{2}\,\operatorname{sen} x\,\operatorname{sec}^{2}x

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