Sendo a entropia uma função de estado, escreva a entropia molar de um gás ideal:
Como uma função de ( \mathrm{P}, \mathrm{V} ) .

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever a entropia molar de um gás ideal como função das variáveis (P,V).
Informações dadas (ou implícitas) que vamos usar:
  • A entropia é uma função de estado (logo depende só do estado final e não do caminho).
  • Trata-se de um gás ideal de uma mole, logo vale a equação de estado \,PV=RT.
  • Precisaremos usar uma condição de referência (um estado inicial (P_0,V_0) com entropia conhecida S_m(P_0,V_0)), porque entropia é definida até uma constante.
  • Vamos assumir que a capacidade térmica molar a volume constante \,C_V é independente da temperatura (caso contrário integraríamos C_V(T)/T).

Passo 2

Fórmula fundamental que liga calor reversível e entropia: para um processo reversível
dS=\frac{\delta Q_\text{rev}}{T}.
Aqui S é a entropia molar (já que estamos trabalhando com uma mole), \delta Q_\text{rev} é o calor reversível trocado e T é a temperatura absoluta. Essa é a definição diferencial de entropia que vamos integrar.

Passo 3

Use a primeira lei da termodinâmica para um processo reversível em uma mole de gás:
dU=\delta Q_\text{rev}-P\,dV.
Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura, então
dU=C_V\,dT,
onde \,C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante. Substituindo em dU=\delta Q_\text{rev}-P\,dV obtemos
\delta Q_\text{rev}=C_V\,dT+P\,dV.
Dividindo por T e usando a definição de entropia:
dS=\frac{C_V\,dT}{T}+\frac{P\,dV}{T}.
Expliquei: C_V\,dT é a variação de energia interna associada à variação de temperatura; P\,dV é o trabalho de expansão; dividir por T dá a variação infinitesimal de entropia.

Passo 4

Agora usamos a equação de estado do gás ideal \,PV=RT para transformar P/T:
\frac{P}{T}=\frac{R}{V}.
Substituindo em dS obtemos
dS=C_V\frac{dT}{T}+R\frac{dV}{V}.
Esse diferencial é exato (como esperado para função de estado). Integrando entre um estado de referência (T_0,V_0) com entropia S_m(P_0,V_0) e o estado (T,V) qualquer:
S_m(T,V)-S_m(T_0,V_0)=\int_{T_0}^{T} C_V\frac{dT'}{T'}+\int_{V_0}^{V} R\frac{dV'}{V'}.
Assumindo C_V constante, as integrais são simples logaritmos:
S_m(T,V)=S_m(T_0,V_0)+C_V\ln\!\left(\frac{T}{T_0}\right)+R\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).
Observação didática: se C_V=C_V(T), a primeira integral seria \int_{T_0}^T \dfrac{C_V(T')}{T'}\,dT' — mesma ideia, mas exige conhecer a dependência com T.

Passo 5

Queremos a expressão em termos de (P,V), então substituímos T pela expressão da equação de estado. Como \,T=\dfrac{PV}{R} e \,T_0=\dfrac{P_0V_0}{R}, temos
\ln\!\left(\frac{T}{T_0}\right)=\ln\!\left(\frac{PV/R}{P_0V_0/R}\right)=\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right)+\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).
Substituindo esse resultado em S_m(T,V):
S_m(P,V)=S_m(P_0,V_0)+C_V\left[\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right)+\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right)\right]+R\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).

Passo 6

Agrupando os logaritmos com \ln(V/V_0):
S_m(P,V)=S_m(P_0,V_0)+C_V\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right)+\bigl(C_V+R\bigr)\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).
Recordando a relação de Mayer \,C_P=C_V+R, podemos escrever de forma elegante
S_m(P,V)=S_m(P_0,V_0)+C_V\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right)+C_P\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).
Interpretação: S_m(P_0,V_0) é a entropia molar no estado de referência; a expressão dá a variação de entropia ao mudar pressão e volume. Essa é a forma final pedida.

Passo 7

Exemplo concreto para fixar: para um gás monoatômico perfeito C_V=\tfrac{3}{2}R e C_P=\tfrac{5}{2}R. Então
S_m(P,V)=S_m(P_0,V_0)+\tfrac{3}{2}R\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right)+\tfrac{5}{2}R\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).
Isso mostra como usar a fórmula na prática. Força aí — na prova, escolha um estado de referência conveniente (por exemplo P_0,V_0 conhecidos) e aplique a fórmula.

Resposta

S_m(P,V)=S_m(P_0,V_0)+C_V\ln\!\left(\frac{P}{P_0}\right)+C_P\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).

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