Sendo a entropia uma função de estado, escreva a entropia molar de um gás ideal:
Como uma função de (
) .
Como uma função de (
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever a entropia molar de um gás ideal como função das variáveis
.
Informações dadas (ou implícitas) que vamos usar:
- A entropia é uma função de estado (logo depende só do estado final e não do caminho).
- Trata-se de um gás ideal de uma mole, logo vale a equação de estado
. - Precisaremos usar uma condição de referência (um estado inicial
com entropia conhecida ), porque entropia é definida até uma constante. - Vamos assumir que a capacidade térmica molar a volume constante
é independente da temperatura (caso contrário integraríamos ).
Passo 2
Fórmula fundamental que liga calor reversível e entropia: para um processo reversível
Aqui
é a entropia molar (já que estamos trabalhando com uma mole),
é o calor reversível trocado e
é a temperatura absoluta. Essa é a definição diferencial de entropia que vamos integrar.
Passo 3
Use a primeira lei da termodinâmica para um processo reversível em uma mole de gás:
Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura, então
onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante. Substituindo em
obtemos
Dividindo por
e usando a definição de entropia:
Expliquei:
é a variação de energia interna associada à variação de temperatura;
é o trabalho de expansão; dividir por
dá a variação infinitesimal de entropia.
Passo 4
Agora usamos a equação de estado do gás ideal
para transformar
:
Substituindo em
obtemos
Esse diferencial é exato (como esperado para função de estado). Integrando entre um estado de referência
com entropia
e o estado
qualquer:
Assumindo
constante, as integrais são simples logaritmos:
Observação didática: se
, a primeira integral seria
— mesma ideia, mas exige conhecer a dependência com
.
Passo 5
Queremos a expressão em termos de
, então substituímos
pela expressão da equação de estado. Como
e
, temos
Substituindo esse resultado em
:
Passo 6
Agrupando os logaritmos com
:
Recordando a relação de Mayer
, podemos escrever de forma elegante
Interpretação:
é a entropia molar no estado de referência; a expressão dá a variação de entropia ao mudar pressão e volume. Essa é a forma final pedida.
Passo 7
Exemplo concreto para fixar: para um gás monoatômico perfeito
e
. Então
Isso mostra como usar a fórmula na prática. Força aí — na prova, escolha um estado de referência conveniente (por exemplo
conhecidos) e aplique a fórmula.