Calcule o limite:
o) (2013-2) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(\operatorname{sen}^{2} x\right)}{\ln x}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
(2013-2)\lim_{x\to0^+}\frac{\ln\bigl(\sin^2 x\bigr)}{\ln x}.
O conteúdo usado será limites envolvendo logaritmos e a equivalência \sin x\sim x quando x\to0.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo:
\ln\bigl(\sin^2 x\bigr)=2\ln\bigl(\sin x\bigr),
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\frac{\ln\bigl(\sin^2 x\bigr)}{\ln x} =2\;\frac{\ln(\sin x)}{\ln x}.

Passo 3

Como \sin x\sim x para x\to0, temos
\ln(\sin x)=\ln x+\ln\!\bigl(\tfrac{\sin x}{x}\bigr) =\ln x+o(1),
portanto
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(\sin x)}{\ln x}=1 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to0^+}\frac{\ln(\sin^2 x)}{\ln x}=2.

Passo 4

Calculamos 2013-2=2011 e multiplicamos pelo limite encontrado:
2011\times 2 = 4022.

Resposta

4022

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