Encontre os valores de p \in \mathbb{N} para os quais f(x)=x^{p} seja uma função crescente em \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede os valores de p\in\mathbb{N} tais que
f(x)=x^{p}
seja crescente em \mathbb{R}. Vamos usar o critério da derivada: se \,f'(x)\ge0 para todo x\in\mathbb{R}, então f é crescente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Pela regra do poder,
f'(x)=p\,x^{p-1}.

Passo 3

Como p>0, o sinal de f'(x) coincide com o sinal de x^{p-1}.
  • Para x>0, tem-se x^{p-1}>0 sempre.
  • Para x<0, o valor de x^{p-1} depende da paridade de p-1:
  • Se p-1 é par (ou seja, p é ímpar), então x^{p-1}\ge0 mesmo para x<0.
  • Se p-1 é ímpar (ou seja, p é par), então x^{p-1}<0 para x<0, fazendo f'(x)<0 nessa região, o que impede f de ser crescente em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Concluímos que a condição f'(x)\ge0 em todo \mathbb{R} só ocorre quando p é ímpar.

Resposta

Todos os números naturais ímpares. Em notação,
p=2k+1,\quad k\in\mathbb{N}_{0}.

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