Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das funções f(x)=\operatorname{sen} x e g(x) = \cos x \operatorname{com} x \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de crescimento e decrescimento de \!f(x)=\sin x e \!g(x)=\cos x em [0,2\pi].
O que vamos usar é o teste da primeira derivada: onde f'(x)>0 a função cresce e onde f'(x)<0 ela decresce.

Passo 2

Para f(x)=\sin x temos
f'(x)=\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.
As raízes de f'(x) ocorrem em
\cos x=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2},\;\frac{3\pi}{2}
em [0,2\pi]. Agora analisamos o sinal de \cos x nos subintervalos determinados por esses pontos:

Passo 3

  • Em 0<x<\tfrac{\pi}{2}, \cos x>0 f cresce.
  • Em \tfrac{\pi}{2}<x<\tfrac{3\pi}{2}, \cos x<0 f decresce.
  • Em \tfrac{3\pi}{2}<x<2\pi, \cos x>0 f cresce.

Passo 4

Para g(x)=\cos x temos
g'(x)=\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x.
As raízes de g'(x) em [0,2\pi] são
-\sin x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0,\;\pi,\;2\pi.
Vamos ver o sinal de -\sin x nos intervalos entre esses pontos:

Passo 5

  • Em 0<x<\pi, \sin x>0 -\sin x<0 g decresce.
  • Em \pi<x<2\pi, \sin x<0 -\sin x>0 g cresce.

Resposta

f(x)=\sin x
cresce em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) e em \bigl(\tfrac{3\pi}{2},2\pi\bigr);
decresce em \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr). g(x)=\cos x
cresce em \bigl(\pi,2\pi\bigr);
decresce em \bigl(0,\pi\bigr).

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