1. A função f(x)=\frac{x}{x^{2}-3 x-4} é contínua em \mathbb{R} ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x}{x^{2}-3x-4}
e pergunta se ela é contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é x.
  • O denominador é x^{2}-3x-4.
  • A pergunta é simplesmente: “é contínua em \mathbb{R} ?”

Passo 2

Primeiro passo técnico: identificar onde a função está definida (o domínio). Para isso achamos onde o denominador é zero, porque nesses pontos a função não está definida. Resolve-se
x^{2}-3x-4=0.
Fatorando o polinômio:
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Portanto as raízes são x=4 e x=-1.

Passo 3

Como a função racional não pode ter denominador zero, o domínio de f é
\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,4\}.
Observação: o numerador x é um polinômio definido em todo \mathbb{R}, então as únicas causas de não definição vêm do denominador.

Passo 4

Vamos relembrar a noção de continuidade num ponto a: a função f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a),
ou seja, a função deve estar definida em a e o limite quando x se aproxima de a deve existir e ser igual ao valor f(a).
Fato útil (teorema): polinômios são contínuos em todo \mathbb{R} e funções racionais (razão de dois polinômios) são contínuas em todo ponto do domínio (isto é, sempre que o denominador for diferente de zero).
Portanto f é contínua em qualquer ponto de \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1,4\}.

Passo 5

Falta verificar o que acontece em x=4 e x=-1. Como f não está definida nessas abscissas, f não pode ser contínua nesses pontos. Para ver o tipo de descontinuidade podemos analisar os limites:
Para x\to 4: o numerador tende a 4 (não nulo) enquanto o denominador tende a 0. Fazendo uma análise de sinal próxima de 4:
  • Se x>4 e próximo de 4, então (x-4)>0 e (x+1)>0, logo o denominador é pequeno e positivo; como o numerador é positivo, f(x)\to +\infty.
  • Se x<4 e próximo de 4, então (x-4)<0 e (x+1)>0, logo o denominador é pequeno e negativo; como o numerador é positivo, f(x)\to -\infty.
Assim \lim_{x\to4} f(x) não existe como número finito (há divergência para sinais opostos nas laterais): há uma assíntota vertical em x=4.
Para x\to -1: o numerador tende a -1 (não nulo) e o denominador tende a 0. Analisando sinais perto de -1:
  • Se x>-1 e próximo de -1, então (x+1)>0 pequeno e (x-4)<0, logo o denominador é pequeno e negativo; numerador negativo dá f(x)\to +\infty.
  • Se x<-1 e próximo de -1, então (x+1)<0 pequeno e (x-4)<0, logo o denominador é pequeno e positivo; numerador negativo dá f(x)\to -\infty.
Assim \lim_{x\to-1} f(x) também não existe como número finito (há divergência com sinais opostos): assíntota vertical em x=-1.
Em resumo: em x=4 e x=-1 a função não está definida e os limites laterais divergem, portanto são descontinuidades não-removíveis (descontinuidades do tipo infinito).

Passo 6

Conclusão lógica: a função não é contínua em \mathbb{R} porque não está definida em x=-1 e x=4. Porém é contínua em todo ponto do seu domínio \mathbb{R}\setminus\{-1,4\}, pois é uma função racional.

Resposta

Não. A função não é contínua em \mathbb{R}. O domínio é \mathbb{R}\setminus\{-1,4\} e f é contínua em todo esse domínio, mas tem descontinuidades (assíntotas verticais) em x=-1 e x=4.

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