- A função
é contínua em
?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta se ela é contínua em
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A pergunta é simplesmente: “é contínua em
?”
Passo 2
Primeiro passo técnico: identificar onde a função está definida (o domínio). Para isso achamos onde o denominador é zero, porque nesses pontos a função não está definida. Resolve-se
Fatorando o polinômio:
Portanto as raízes são
e
.
Passo 3
Como a função racional não pode ter denominador zero, o domínio de
é
Observação: o numerador
é um polinômio definido em todo
, então as únicas causas de não definição vêm do denominador.
Passo 4
Vamos relembrar a noção de continuidade num ponto
: a função
é contínua em
se e somente se
ou seja, a função deve estar definida em
e o limite quando
se aproxima de
deve existir e ser igual ao valor
.
Fato útil (teorema): polinômios são contínuos em todo
e funções racionais (razão de dois polinômios) são contínuas em todo ponto do domínio (isto é, sempre que o denominador for diferente de zero).
Portanto
é contínua em qualquer ponto de
.
Passo 5
Falta verificar o que acontece em
e
. Como
não está definida nessas abscissas,
não pode ser contínua nesses pontos. Para ver o tipo de descontinuidade podemos analisar os limites:
Para
: o numerador tende a
(não nulo) enquanto o denominador tende a
. Fazendo uma análise de sinal próxima de
:
- Se
e próximo de , então e , logo o denominador é pequeno e positivo; como o numerador é positivo, . - Se
e próximo de , então e , logo o denominador é pequeno e negativo; como o numerador é positivo, .
Assim
não existe como número finito (há divergência para sinais opostos nas laterais): há uma assíntota vertical em
.
Para
: o numerador tende a
(não nulo) e o denominador tende a
. Analisando sinais perto de
:
- Se
e próximo de , então pequeno e , logo o denominador é pequeno e negativo; numerador negativo dá . - Se
e próximo de , então pequeno e , logo o denominador é pequeno e positivo; numerador negativo dá .
Assim
também não existe como número finito (há divergência com sinais opostos): assíntota vertical em
.
Em resumo: em
e
a função não está definida e os limites laterais divergem, portanto são descontinuidades não-removíveis (descontinuidades do tipo infinito).
Passo 6
Conclusão lógica: a função não é contínua em
porque não está definida em
e
. Porém é contínua em todo ponto do seu domínio
, pois é uma função racional.
Resposta
Não. A função não é contínua em
. O domínio é
e
é contínua em todo esse domínio, mas tem descontinuidades (assíntotas verticais) em
e
.