Calcule o limite abaixo (se existir):
lim (x, y) (0,0) x^2 y^2raizx^2+2 y^2

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2y^2raizx^2+2y^2
Isso é um problema de limite de função de duas variáveis. Vamos mostrar que esse quociente tende a zero usando desigualdades e o teorema do confronto.

Passo 2

Para controlar a expressão, definimos
r = raizx^2 + y^2
Então temos as estimativas básicas:
- |x| <= r e |y| <= r,
- raizx^2 + 2y^2 >= raizx^2 + y^2 = r
Essas desigualdades vêm do fato de somar termos positivos dentro da raiz e da definição de distância no plano.

Passo 3

Agora avaliamos o valor absoluto da função:
|x^2y^2raizx^2+2y^2| <= |x|^2,|y|^2r <= (rcdot r)^2r = r^3
Como r^3to0 quando rto0, pelo teorema do confronto concluímos que o limite da função original também é zero.

Resposta

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