Seja f(x, y)=y(x^2-y)-2 x^2.
Encontre e classifique todos os pontos críticos de f(x, y).

Passo 1

Estamos com a função de duas variáveis f(x,y)=y(x^2-y)-2x^2. Precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde as derivadas parciais se anulam, e em seguida usar o Hessiano para classificar cada ponto (máximo, mínimo ou sela).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x(y-2),
partial fpartial y=x^2-2y
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
2x(y-2)=0, x^2-2y=0
Da primeira equação vem x=0 ou y=2.
  • Se x=0, então x^2-2y=-2y=0 implica y=0, ponto crítico (0,0).
  • Se y=2, então x^2-4=0 implica x=pm2, pontos críticos (2,2) e (-2,2).

Passo 3

Agora vamos às segundas derivadas para montar o Hessiano:
fxx=2(y-2),
fxy= racpartialpartial y(2x(y-2))=2x,
fyy=-2
O Hessiano é
H(x,y)=fxx & fxy fxy & fyy=2(y-2) & 2x2x & -2

Passo 4

Avaliamos o determinante do Hessiano D=fxxfyy-(fxy)^2 e o sinal de fxx em cada ponto:
  • Em (0,0): fxx=-4, fxy=0, fyy=-2. Logo D=(-4)(-2)-0^2=8>0 e fxx<0 ⇒ máximo local.
  • Em (2,2): fxx=0, fxy=4, fyy=-2. Logo D=0cdot(-2)-4^2=-16<0 ⇒ ponto de sela.
  • Em (-2,2): fxx=0, fxy=-4, fyy=-2. Logo D=0cdot(-2)-(-4)^2=-16<0 ⇒ ponto de sela.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0) → máximo local; (2,2) e (−2,2) → pontos de sela.

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