Seja
.
Encontre e classifique todos os pontos críticos de
.
Encontre e classifique todos os pontos críticos de
Passo 1
Estamos com a função de duas variáveis
. Precisamos encontrar os pontos críticos, ou seja, onde as derivadas parciais se anulam, e em seguida usar o Hessiano para classificar cada ponto (máximo, mínimo ou sela).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Para achar os pontos críticos, resolvemos o sistema
Da primeira equação vem
ou
.
- Se
, então implica , ponto crítico . - Se
, então implica , pontos críticos e .
Passo 3
Agora vamos às segundas derivadas para montar o Hessiano:
O Hessiano é
Passo 4
Avaliamos o determinante do Hessiano
e o sinal de
em cada ponto:
- Em
: , , . Logo e ⇒ máximo local. - Em
: , , . Logo ⇒ ponto de sela. - Em
: , , . Logo ⇒ ponto de sela.
Resposta
Os pontos críticos são (0,0) → máximo local; (2,2) e (−2,2) → pontos de sela.