Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Determine
uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando
? (Observação. ned
não está definido)
e)
.
e)
Passo 1
O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de t: temos
Queremos encontrar uma solução do tipo
(para r constante) e depois analisar o comportamento assintótico das soluções à medida que
.
Passo 2
Começamos assumindo
. Então
Substituindo na EDO:
Divide-se por
(sempre não nulo) e agrupa-se termos em
e
. O termo em
some, e o coeficiente de
dá:
Passo 3
Como as raízes são complexas
, a solução geral real fica
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (por exemplo
e
).
Passo 4
Agora analisamos o limite pedido:
Substituindo
, vem
Como
e
continuam oscilando indefinidamente quando
, esse limite não converge a um valor único.
Passo 5
Portanto a alternativa (e) é falsa: não existe o limite indicado, pois a expressão oscila entre valores diferentes e não tende a
nem a nenhum outro valor fixo.
Passo 6
Resumo da solução geral:
Resposta
A solução geral é
e a alternativa (e) é falsa, pois o limite dado não existe (oscila).
e a alternativa (e) é falsa, pois o limite dado não existe (oscila).