Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-2+18 t^3) d yd t+90 t^5 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^3 para r fixo. Determine y(t) uma solução qualquer da equação diferencial, apresentando todos os cálculos. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluções quando t +infty? (Observação. ned = não está definido)
e) lim t +infty e^-3+3 t^3 y(t)=y^prime(1)6+2 y(1).

Passo 1

O enunciado trata de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de t: temos
t,y''(t)+(-2+18t^3),y'(t)+90t^5,y(t)=0, t>0
Queremos encontrar uma solução do tipo y(t)=e^r,t^3 (para r constante) e depois analisar o comportamento assintótico das soluções à medida que tto+infty.

Passo 2

Começamos assumindo y(t)=e^r,t^3. Então
y'(t)=3r,t^2e^r t^3,
y''(t)=l(6r,t+9r^2t^4r)e^r t^3
Substituindo na EDO:
tl(6r t+9r^2t^4r)e^r t^3+(-2+18t^3)(3r t^2)e^r t^3+90t^5e^r t^3=0
Divide-se por e^r t^3 (sempre não nulo) e agrupa-se termos em t^2 e t^5. O termo em t^2 some, e o coeficiente de t^5 dá:
9r^2+54r+90=0; Longrightarrow;r^2+6r+10=0; ;r=-3pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas -3pm i, a solução geral real fica
y(t)=e^-3t^3l(C1cos(t^3)+C2sin(t^3)r),
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais (por exemplo y(1) e y'(1)).

Passo 4

Agora analisamos o limite pedido:
L=limtto+inftye^-3+3t^3,y(t)
Substituindo y(t)=e^-3t^3(C1cos t^3+C2sin t^3), vem
e^-3+3t^3,y(t)=e^-3+3t^3-3t^3(C1cos t^3+C2sin t^3)=e^-3l(C1cos t^3+C2sin t^3r)
Como cos t^3 e sin t^3 continuam oscilando indefinidamente quando tto+infty, esse limite não converge a um valor único.

Passo 5

Portanto a alternativa (e) é falsa: não existe o limite indicado, pois a expressão oscila entre valores diferentes e não tende a
tfracy'(1)6+2y(1) nem a nenhum outro valor fixo.

Passo 6

Resumo da solução geral:
boxedy(t)=e^-3t^3l(C1cos t^3+C2sin t^3r)

Resposta

A solução geral é
y(t)=e^-3t^3(C1cos t^3+C2sin t^3)
e a alternativa (e) é falsa, pois o limite dado não existe (oscila).

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