Calcule o limite abaixo (se existir):
lim (x, y) (0,0) x y cos (y)x^2+y^2

Passo 1

A gente tem a função f(x,y)=x y cos(y)x^2+y^2 e quer o limite quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos para checar se o valor é o mesmo por toda direção.

Passo 2

Vamos substituir na reta y=mx para ver como o limite se comporta nessa direção. Substituindo na expressão x y cos(y)x^2+y^2 a gente obtém:

Passo 3

[
\frac{x\cdot(m x)\cos(m x)}{x^2+(m x)^2}
=\frac{m x^2\cos(m x)}{x2(1+m2)}
=\frac{m\cos(m x)}{1+m^2}
]
Quando xto0, cos(m x)to1, então o limite ao longo dessa reta é m1+m^2.

Passo 4

Perceba que esse valor depende de m. Por exemplo, se m=0 o limite dá 0 e se m=1 tfrac12. Como diferentes direções levam a resultados diferentes, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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