Calcule o limite abaixo (se existir):
Passo 1
A gente tem a função
e quer o limite quando
. O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos usar o teste de caminhos para checar se o valor é o mesmo por toda direção.
Passo 2
Vamos substituir na reta
para ver como o limite se comporta nessa direção. Substituindo na expressão
a gente obtém:
Passo 3
[
\frac{x\cdot(m x)\cos(m x)}{x^2+(m x)^2}
=\frac{m x^2\cos(m x)}{x2(1+m2)}
=\frac{m\cos(m x)}{1+m^2}
]
Quando ,
, então o limite ao longo dessa reta é
.
\frac{x\cdot(m x)\cos(m x)}{x^2+(m x)^2}
=\frac{m x^2\cos(m x)}{x2(1+m2)}
=\frac{m\cos(m x)}{1+m^2}
]
Quando
Passo 4
Perceba que esse valor depende de
. Por exemplo, se
o limite dá 0 e se
dá
. Como diferentes direções levam a resultados diferentes, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.