Considere a função h(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)), em que
f(x, y)=(y+x^2)^3 e^y, x(u, v)=u cos ^2(v), e y(u, v)=ln (u v)
Utilize a Regra da Cadeia para calcular partial hpartial v(u, v).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial partial hpartial v(u,v) da função composta h(u,v)=fl(x(u,v),y(u,v)r), onde temos\nf(x,y)=(y+x2)3e^y, x(u,v)=u\cos^2v e y(u,v)=\ln(uv). O conteúdo é Regra da Cadeia para funções de várias variáveis: vamos precisar das derivadas parciais fx, fy e das derivadas partial xpartial v, partial ypartial v.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
A teoria diz que, se f(x,y)=(y+x^2)^3e^y, então
partial fpartial x(x,y)=ddxl((y+x^2)^3r),e^y =3(y+x^2)^2cdot2x,e^y=6x(y+x^2)^2e^y,
partial fpartial y(x,y)=ddyl((y+x^2)^3r),e^y+(y+x^2)^3,e^y =3(y+x^2)^2e^y+(y+x^2)^3e^y =e^y(y+x^2)^2l[3+(y+x^2)r]

Passo 3

Agora derivamos as funções internas em relação a v:
Como x(u,v)=ucos^2v,
partial xpartial v=ucdot2cos v(-sin v)=-2ucos vsin v
Como y(u,v)=ln(uv),
partial ypartial v=1uvcdot u=1v

Passo 4

Pela Regra da Cadeia, a derivada parcial partial hpartial v é dada por
partial hpartial v=partial fpartial x,partial xpartial v+partial fpartial y,partial ypartial v
Substituindo as derivadas que encontramos,
partial hpartial v=6x(y+x^2)^2e^y,(-2ucos vsin v)+e^y(y+x^2)^2l[3+(y+x^2)r],1v

Passo 5

Finalmente, só falta lembrar que x=x(u,v)=ucos^2v e y=y(u,v)=ln(uv). Se quisermos, podemos deixar a resposta em termos de u e v substituindo essas expressões dentro do resultado acima.

Resposta

partial hpartial v(u,v)=6,x(u,v)l(y(u,v)+x(u,v)^2r)^2e^y(u,v),l(-2ucos vsin vr) +e^y(u,v)l(y(u,v)+x(u,v)^2r)^2l[3+l(y(u,v)+x(u,v)^2r)r],1v,
com
x(u,v)=ucos^2v, y(u,v)=ln(uv)

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