Calcule o limite abaixo.
lim x 1 x^5+x^4+x^3+x^2+x-5x^3-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto1x^5+x^4+x^3+x^2+x-5x^3-1. O conteúdo é cálculo de limite de função racional e vamos precisar usar a forma indeterminada 0/0 e aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Ao substituir x=1, o numerador fica 1+1+1+1+1-5=0 e o denominador 1^3-1=0, gerando a forma indeterminada 0/0. Por isso, podemos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se ao substituir fica 0/0, podemos calcular lim f'/g'. Derivando numerador e denominador temos:
ddx(x^5+x^4+x^3+x^2+x-5)=5x^4+4x^3+3x^2+2x+1,
ddx(x^3-1)=3x^2
Logo o limite vira limxto15x^4+4x^3+3x^2+2x+13x^2.

Passo 4

Substituindo x=1 nesse novo quociente, o numerador é 5+4+3+2+1=15 e o denominador é 3cdot1^2=3, o que leva a 15/3=5.

Resposta

5

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