Verifique se o limite
existe. Caso exista, determine-o.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o limite
existe. Se existir, vamos determinar o valor desse limite. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com duas variáveis e possivelmente usar coordenadas polares para simplificar a análise.
Passo 2
Vamos começar observando a expressão dentro do limite:
Para simplificar, vamos notar que
é a distância ao quadrado do ponto
até a origem. Quando
, essa distância tende a zero. Isso sugere que podemos usar coordenadas polares, onde
e
, com
.
Passo 3
Convertendo a expressão para coordenadas polares, temos:
Agora, o limite quando
é equivalente ao limite quando
da expressão acima.
Passo 4
Vamos analisar o limite:
Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor da função exponencial
em torno de
:
Subtraindo 1 e dividindo por
, temos:
Passo 5
Agora, ao tomar o limite quando
, todos os termos com
tendem a zero. Portanto, o limite da expressão simplificada é:
Resposta
O limite existe e seu valor é
.