Verifique se o limite
lim (x, y) (0,0) e^-x^2-y^2-1x^2+y^2
existe. Caso exista, determine-o.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o limite
lim (x, y) (0,0) e^-x^2-y^2-1x^2+y^2
existe. Se existir, vamos determinar o valor desse limite. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com duas variáveis e possivelmente usar coordenadas polares para simplificar a análise.

Passo 2

Vamos começar observando a expressão dentro do limite:
e^-x^2-y^2-1x^2+y^2
Para simplificar, vamos notar que x^2 + y^2 é a distância ao quadrado do ponto (x, y) até a origem. Quando (x, y) (0,0), essa distância tende a zero. Isso sugere que podemos usar coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta), com r = raizx^2 + y^2.

Passo 3

Convertendo a expressão para coordenadas polares, temos:
e^-r^2 - 1r^2
Agora, o limite quando (x, y) (0,0) é equivalente ao limite quando r 0 da expressão acima.

Passo 4

Vamos analisar o limite:
limr to 0 e^-r^2 - 1r^2
Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor da função exponencial e^-r^2 em torno de r = 0:
e^-r^2 = 1 - r^2 + r^42 - r^66 + dots
Subtraindo 1 e dividindo por r^2, temos:
e^-r^2 - 1r^2 = - r^2 + r^42 - r^66 + dots r^2 = -1 + r^22 - r^46 + dots

Passo 5

Agora, ao tomar o limite quando r to 0, todos os termos com r tendem a zero. Portanto, o limite da expressão simplificada é:
-1

Resposta

O limite existe e seu valor é -1.

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