Calcule o limite abaixo:
lim x 0 x^2-4 x+4x

Passo 1

Enunciado resumido: queremos calcular o limite de \n$ limxto 0 x^2 - 4x + 4x$\nConteúdo: limites de funções racionais e comportamento de infinitos. Precisamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, observe que o numerador é um quadrado perfeito. Podemos reescrever: \n$ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \nIsso nos ajuda a ver claramente o sinal e o valor aproximado perto de x = 0.
Então a expressão fica: \n$ (x - 2)^2x \nQuando x se aproxima de 0, o numerador $ (x-2)^2 $ tende a 4 (pois $ (0-2)^2 =4 $), enquanto o denominador $ x $ tende a 0.

Passo 3

Para limites que envolvem divisão por algo que tende a zero, a gente vê se o numerador tende a um valor não nulo. Aqui o numerador tende a 4, que é diferente de zero. Logo, a fração cresce em módulo sem parar.
Como o sinal de x muda conforme vem da direita ou da esquerda, obtém-se: \n– Para x→0^+ (x positivo), a fração tende a +∞. \n– Para x→0^- (x negativo), a fração tende a -∞.

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem (um vai a +∞ e o outro a -∞), o limite dois-lados em x→0 não existe.

Resposta

O limite não existe (diverge para +∞ pela direita e para -∞ pela esquerda).

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