Calcule o limite abaixo:
Passo 1
Enunciado resumido: queremos calcular o limite de \n$
$\nConteúdo: limites de funções racionais e comportamento de infinitos. Precisamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando x se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, observe que o numerador é um quadrado perfeito. Podemos reescrever: \n$
\nIsso nos ajuda a ver claramente o sinal e o valor aproximado perto de x = 0.
Então a expressão fica: \n$
\nQuando x se aproxima de 0, o numerador $ (x-2)^2 $ tende a 4 (pois $ (0-2)^2 =4 $), enquanto o denominador $ x $ tende a 0.
Passo 3
Para limites que envolvem divisão por algo que tende a zero, a gente vê se o numerador tende a um valor não nulo. Aqui o numerador tende a 4, que é diferente de zero. Logo, a fração cresce em módulo sem parar.
Como o sinal de x muda conforme vem da direita ou da esquerda, obtém-se: \n– Para x→0^+ (x positivo), a fração tende a +∞. \n– Para x→0^- (x negativo), a fração tende a -∞.
Como o sinal de x muda conforme vem da direita ou da esquerda, obtém-se: \n– Para x→0^+ (x positivo), a fração tende a +∞. \n– Para x→0^- (x negativo), a fração tende a -∞.
Passo 4
Como os limites laterais não coincidem (um vai a +∞ e o outro a -∞), o limite dois-lados em x→0 não existe.
Resposta
O limite não existe (diverge para +∞ pela direita e para -∞ pela esquerda).