Seja
a região do primeiro quadrante do plano XY limitada pelas hipérboles
,
e pelas retas
e
. Calcule a área dessa região.
Passo 1
O enunciado pede a área da região Ω no primeiro quadrante limitada pelas curvas
,
e pelas retas
,
. O conteúdo principal é calcular uma integral dupla usando mudança de variáveis adequada.
Passo 2
Para simplificar a forma das fronteiras, definimos as variáveis
e
. Assim as hipérboles ficam em
e
e as retas em
e
. Invertendo:
Calculamos o Jacobiano
$$
J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{1}{2v}.
\iint_\Omega dx,dy=\iint_{D_{uv}}\frac{1}{2v},du,dv,
$$
com e
.
com
Passo 3
A integral fica