Seja Omega a região do primeiro quadrante do plano XY limitada pelas hipérboles x y=1, x y=2 e pelas retas x=y e x=4 y. Calcule a área dessa região.

Passo 1

O enunciado pede a área da região Ω no primeiro quadrante limitada pelas curvas xy=1, xy=2 e pelas retas x=y, x=4y. O conteúdo principal é calcular uma integral dupla usando mudança de variáveis adequada.

Passo 2

Para simplificar a forma das fronteiras, definimos as variáveis u=xy e v=xy. Assim as hipérboles ficam em u=1 e u=2 e as retas em v=1 e v=4. Invertendo:
x=raizuv, y=raizuv.
Calculamos o Jacobiano
$$
J=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{1}{2v}.
J=|partial(x,y)partial(u,v)|=12v ãáé
\iint_\Omega dx,dy=\iint_{D_{uv}}\frac{1}{2v},du,dv,
$$
com integral duplaOmega dx,dy=integral duplaDuv12v,du,dv, e uin[1,2].

Passo 3

A integral fica
integralv=1^4integralu=1^212v,du,dv =integral1^412v(2-1),dv =12integral1^41v,dv =12[ln v]1^4 =ln2

Resposta

ln2

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