Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que está limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=9 e pelos cilíndros x^2+z^2=4 e x^2+z^2=1.

Passo 1

O problema pede o volume do sólido limitado pela esfera x^2+y^2+z^2=9 e pelos cilindros x^2+z^2=1 e x^2+z^2=4, usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas em torno do eixo y, definimos:
x=rhocosphi, z=rhosinphi, y=y, dV=rho,drho,dphi,d y
Nesse sistema, os cilindros ficam em rho=1 e rho=2, e a esfera dá y=pmraiz9-rho^2. Logo, as variáveis variam como:
1<=rho<=2, 0<=phi<=2pi, -raiz9-rho^2<= y<=raiz9-rho^2

Passo 3

O volume é dado pelo integral triplo
V=integral0^2piintegral1^2integral-raiz9-rho^2^raiz9-rho^2rho,d y,drho,dphi

Passo 4

Primeiro, integramos em y:
integral-raiz9-rho^2^raiz9-rho^2rho,d y=2rhoraiz9-rho^2
Então
V=integral0^2piintegral1^22rhoraiz9-rho^2,drho,dphi

Passo 5

A integral em phi é imediata e dá 2pi. Assim
V=2picdot2integral1^2rhoraiz9-rho^2,drho=4piintegral1^2rhoraiz9-rho^2,drho

Passo 6

Para calcular I=integralrhoraiz9-rho^2,drho, fazemos u=9-rho^2, du=-2rho,drho, logo:
I=-tfrac12integral u^1/2,du=-tfrac13u^3/2=-tfrac13(9-rho^2)^3/2
Avaliando de rho=1 a rho=2 obtém-se
I|1^2= -tfrac13l[(9-4)^3/2-(9-1)^3/2r]=tfrac16raiz2-5raiz53

Passo 7

Substituindo em V=4pi I resulta
V=4picdot16raiz2-5raiz53=4pi3l(16raiz2-5raiz5r)

Resposta

V=4pi3l(16raiz2-5raiz5r)

Exercícios relacionados