Calcule o limite abaixo.
lim (x, y) (4,-2) x raizy^2+2 x.

Passo 1

Nesse exercício queremos calcular lim(x,y)to(4,-2) xraizy^2+2x. É um limite de função de duas variáveis e vamos usar que composições e produtos de funções contínuas são contínuos.

Passo 2

Definimos g(x,y)=y^2+2x. Como soma e produto são operações contínuas, g é contínua. Em (4,-2) temos
g(4,-2)=(-2)^2+2cdot4=4+8=12>0,

Passo 3

Portanto, raizg(x,y) está bem definida num entorno de (4,-2) e é contínua. A função f(x,y)=xraizg(x,y) é o produto de x (contínua) e raizg(x,y) (contínua), logo f é contínua em (4,-2).

Passo 4

Pelo teorema da continuidade,
lim(x,y)to(4,-2)xraizy^2+2x=f(4,-2)

Passo 5

Agora basta calcular
f(4,-2)=4raiz(-2)^2+2cdot4=4raiz12=4cdot2raiz3=8raiz3

Resposta

8\sqrt{3}

Exercícios relacionados