Um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa constante de 8 m 3 / s. Calcule com que velocidade o raio r do balão cresce: b) Quando r = 4 m .

Passo 1

Vamos resolver um problema de taxas relacionadas na física. Temos um balão esférico sendo enchido de gás a uma taxa constante de 8 , m^3/s. Queremos descobrir com que velocidade o raio r do balão está aumentando quando r = 4 , m. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera e derivar em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o volume V de uma esfera é dado pela fórmula:
V = 43 pi r^3
Como o volume está aumentando com o tempo, precisamos derivar essa equação em relação ao tempo t.

Passo 3

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, temos:
dVdt = 4pi r^2 drdt
Aqui, dVdt é a taxa de variação do volume, e drdt é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.

Passo 4

Sabemos que dVdt = 8 , m^3/s e que r = 4 , m. Substituindo esses valores na equação:
8 = 4pi (4)^2 drdt
8 = 4pi times 16 times drdt
8 = 64pi drdt

Resposta

Resolvendo para drdt:
drdt = 864pi = 18pi , m/s
Portanto, quando o raio do balão é de 4 metros, está aumentando a uma velocidade de 18pi , metros por segundo.

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