Um grande balão esférico de borracha está sendo cheio de gás a uma taxa constante de
. Calcule com que velocidade o raio r do balão cresce: b) Quando r = 4 m .
Passo 1
Vamos resolver um problema de taxas relacionadas na física. Temos um balão esférico sendo enchido de gás a uma taxa constante de
. Queremos descobrir com que velocidade o raio
do balão está aumentando quando
. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de uma esfera e derivar em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o volume
de uma esfera é dado pela fórmula:
Como o volume está aumentando com o tempo, precisamos derivar essa equação em relação ao tempo
.
Passo 3
Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, temos:
Aqui,
é a taxa de variação do volume, e
é a taxa de variação do raio que queremos encontrar.
Passo 4
Sabemos que
e que
. Substituindo esses valores na equação:
Resposta
Resolvendo para
:
Portanto, quando o raio do balão é de 4 metros, está aumentando a uma velocidade de
.