Calcule o limite e analise a continuidade das funções vetoriais dadas, nos pontos indicados:
em [
t=0] e [
t=3 ;]

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
vec f(t)=l(f1(t),,f2(t)r)
com
f1(t)=|t-3|t-3, f2(t)=t^2para tneq3,
e vec f(3)=0=(0,0).
Pede-se o limite limtto0vec f(t), limtto3vec f(t) e a continuidade em t=0 e em t=3.
Lembrando que um limite de função vetorial existe se, e somente se, existir para cada componente.

Passo 2

Calcular limtto0vec f(t) e comparar com vec f(0).
Para tneq3 temos
f1(t)=|t-3|t-3é contínua em t=0, éí
logo limtto0f1(t)=f1(0)=|0-3|0-3=-1.
E
f2(t)=t^2é contínua, então limtto0f2(t)=0^2=0 éíã
Portanto
limtto0vec f(t)=(-1,0)
Como vec f(0)=(-1,0), concluímos que vec f é contínua em t=0.

Passo 3

Analisar limtto3vec f(t) componente a componente.
Para f1(t)=|t-3|t-3 temos os limites laterais
limtto3^-f1(t)=-1, limtto3^+f1(t)=+1
Como esses dois valores são diferentes, limtto3f1(t) não existe.

Passo 4

Para f2(t)=t^2 é contínua, então
limtto3f2(t)=3^2=9
Mas, como já não existe limtto3f1(t), o limite vetorial
limtto3vec f(t) não existe.

Passo 5

Verificar continuidade em t=3.
Temos vec f(3)=(0,0), mas como limtto3vec f(t) não existe, vec f é descontínua em t=3.

Resposta

Em t=0:
limtto0vec f(t)=(-1,0) e a função é contínua em 0.
Em t=3:
limtto3vec f(t) não existe (devido à componente f1), logo a função é descontinua em 3.

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