A pergunta é: qual é o valor desse limite quando (x,y) se aproxima de (1,1)?
Passo 2
Vamos manipular a expressão algébrica para simplificá‑la antes de tomar o limite. Primeiro reconher duas identidades algébricas básicas (vou explicar cada uma):
A identidade do quadrado da diferença:
x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}.
Aqui a ideia é lembrar que (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}; cada termo aparece claramente.
A identidade da diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Essa é útil porque o denominador tem 3x^{2}-3y^{2}=3(x^{2}-y^{2}).
Passo 3
Usando as identidades acima reescrevemos numerador e denominador:
Explico por que essa simplificação basta para o limite: o limite quando (x,y)\to(1,1) depende apenas dos valores da função em pontos próximos a (1,1), excluindo possivelmente o próprio ponto. Nas proximidades de (1,1) existem pontos com x\neq y, e nesses pontos a função original coincide com a função simplificada
g(x,y)=\frac{x-y}{3(x+y)}.
Logo a função original e g têm o mesmo limite em (1,1) (quando o limite existe). Agora verificamos g em (1,1).
Passo 5
A função g é uma função racional simples e é contínua em pontos onde o denominador não é zero. No ponto (1,1) o denominador vale
3(x+y)\big|_{(1,1)}=3(1+1)=6\neq 0,
portanto g é contínua em (1,1). Para funções contínuas, o limite ao se aproximar do ponto é simplesmente o valor da função no ponto. Assim: