Calcule o limite em cada caso.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{x^{2}-2 x y+y^{2}}{3 x^{2}-3 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{3x^{2}-3y^{2}}.
Informações dadas:
\text{numerador } = x^{2}-2xy+y^{2}, \qquad \text{denominador } = 3x^{2}-3y^{2}, \qquad \text{ponto de interesse } (x,y)=(1,1).
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando (x,y) se aproxima de (1,1)?

Passo 2

Vamos manipular a expressão algébrica para simplificá‑la antes de tomar o limite. Primeiro reconher duas identidades algébricas básicas (vou explicar cada uma):
  • A identidade do quadrado da diferença:
x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2}.
Aqui a ideia é lembrar que (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}; cada termo aparece claramente.
  • A identidade da diferença de quadrados:
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
Essa é útil porque o denominador tem 3x^{2}-3y^{2}=3(x^{2}-y^{2}).

Passo 3

Usando as identidades acima reescrevemos numerador e denominador:
\frac{x^{2}-2xy+y^{2}}{3x^{2}-3y^{2}} = \frac{(x-y)^{2}}{3(x^{2}-y^{2})} = \frac{(x-y)^{2}}{3(x-y)(x+y)}.
Para pontos com x\neq y podemos cancelar um fator (x-y), obtendo a forma simplificada válida quando x\neq y:
\frac{(x-y)^{2}}{3(x-y)(x+y)}=\frac{x-y}{3(x+y)}\quad\text{(para \(x\neq y\))}.

Passo 4

Explico por que essa simplificação basta para o limite: o limite quando (x,y)\to(1,1) depende apenas dos valores da função em pontos próximos a (1,1), excluindo possivelmente o próprio ponto. Nas proximidades de (1,1) existem pontos com x\neq y, e nesses pontos a função original coincide com a função simplificada
g(x,y)=\frac{x-y}{3(x+y)}.
Logo a função original e g têm o mesmo limite em (1,1) (quando o limite existe). Agora verificamos g em (1,1).

Passo 5

A função g é uma função racional simples e é contínua em pontos onde o denominador não é zero. No ponto (1,1) o denominador vale
3(x+y)\big|_{(1,1)}=3(1+1)=6\neq 0,
portanto g é contínua em (1,1). Para funções contínuas, o limite ao se aproximar do ponto é simplesmente o valor da função no ponto. Assim:
\lim_{(x,y)\to(1,1)} g(x,y)=g(1,1)=\frac{1-1}{3(1+1)}=\frac{0}{6}=0.
Como a função original coincide com g em um vizinhança deletada de (1,1), o limite pedido é 0.

Resposta

0

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