Calcule o limite em cada caso.
Passo 1
O problema pede para calcular o seguinte limite quando
se aproxima do ponto
:
Informações dadas:
ponto de aproximação
.
O objetivo é encontrar o valor numérico do limite.
O objetivo é encontrar o valor numérico do limite.
Passo 2
Primeiro precisamos garantir que a expressão está bem definida em pontos próximos de
. Verifico o argumento do logaritmo no ponto:
Como
é definido apenas para argumentos estritamente positivos, é importante mostrar que
em alguma vizinhança de
. Vou construir uma vizinhança explícita onde isso vale.
Passo 3
Mostro que existe uma bola ao redor de
onde
. Se eu tomar
e exigir
então, em particular,
e
. Assim
Portanto
para todos os pontos com distância menor que
. Isso garante que
está bem definido nessa vizinhança.
Passo 4
Agora uso propriedades de limites e continuidade. Explico brevemente (didaticamente):
- A função
é contínua em , logo . - A função
é contínua em , logo . - O produto de funções contínuas é contínuo; assim
é contínuo em e seu limite é o produto dos limites. - A função
é linear (portanto contínua), e como , a composição é contínua naquela vizinhança porque é contínua em . - A soma de funções contínuas é contínua, então podemos somar os limites dos termos separados.
Essas são regras padrão de limites: limites de soma/ produto/ composição valem como esperado quando as funções envolvidas são contínuas no ponto considerado.
Passo 5
Calculo os limites das partes e combino:
E
Somando os dois resultados: