Calcule o limite em cada caso.
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(2,3,0)}\left[x e^{z}+\ln (2 x-y)\right]

Passo 1

O problema pede para calcular o seguinte limite quando (x,y,z) se aproxima do ponto (2,3,0):
\lim_{(x,y,z)\to(2,3,0)}\left[x e^{z}+\ln(2x-y)\right].
Informações dadas:
\text{função }F(x,y,z)=x e^{z}+\ln(2x-y),çã
ponto de aproximação (2,3,0).
O objetivo é encontrar o valor numérico do limite.

Passo 2

Primeiro precisamos garantir que a expressão está bem definida em pontos próximos de (2,3,0). Verifico o argumento do logaritmo no ponto:
2\cdot 2 - 3 = 1.
Como \ln é definido apenas para argumentos estritamente positivos, é importante mostrar que 2x-y>0 em alguma vizinhança de (2,3,0). Vou construir uma vizinhança explícita onde isso vale.

Passo 3

Mostro que existe uma bola ao redor de (2,3,0) onde 2x-y>0. Se eu tomar \delta=\tfrac{1}{4} e exigir
\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2+(z-0)^2}<\delta,
então, em particular, |x-2|<\tfrac{1}{4} e |y-3|<\tfrac{1}{4}. Assim
|2x-y-1|=|2(x-2)-(y-3)|\le 2|x-2|+|y-3|<2\cdot\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}.
Portanto
2x-y>1-\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}>0
para todos os pontos com distância menor que \delta. Isso garante que \ln(2x-y) está bem definido nessa vizinhança.

Passo 4

Agora uso propriedades de limites e continuidade. Explico brevemente (didaticamente):
  • A função x\mapsto x é contínua em x=2, logo \lim_{x\to2} x = 2.
  • A função z\mapsto e^{z} é contínua em z=0, logo \lim_{z\to0} e^{z} = e^{0}=1.
  • O produto de funções contínuas é contínuo; assim x e^{z} é contínuo em (2,3,0) e seu limite é o produto dos limites.
  • A função (x,y)\mapsto 2x-y é linear (portanto contínua), e como (2x-y)\big|_{(2,3)}=1>0, a composição \ln(2x-y) é contínua naquela vizinhança porque \ln é contínua em (0,\infty).
  • A soma de funções contínuas é contínua, então podemos somar os limites dos termos separados.
Essas são regras padrão de limites: limites de soma/ produto/ composição valem como esperado quando as funções envolvidas são contínuas no ponto considerado.

Passo 5

Calculo os limites das partes e combino:
\lim_{(x,y,z)\to(2,3,0)} x e^{z} = \left(\lim_{x\to2} x\right)\left(\lim_{z\to0} e^{z}\right) = 2\cdot 1 = 2.
E
\lim_{(x,y,z)\to(2,3,0)} \ln(2x-y) = \ln\!\left(\lim_{(x,y)\to(2,3)} (2x-y)\right) = \ln(1) = 0.
Somando os dois resultados:
\lim_{(x,y,z)\to(2,3,0)}\left[x e^{z}+\ln(2x-y)\right] = 2 + 0 = 2.

Resposta

2

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