Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
lim x 2^- x^3-x^2-2 x|x-2|

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral à esquerda de xto2^- da função f(x)=x^3 - x^2 - 2x|x-2|. Vamos usar fatoração de polinômios e a definição de valor absoluto, sem derivadas.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador x^3 - x^2 - 2x. Note que x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2) e que x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1). Assim,
x^3 - x^2 - 2x = x(x-2)(x+1)

Passo 3

Para x<2, temos |x-2| = 2-x. Logo, para x aproximando-se de 2 pela esquerda,
$$\frac{x^3 - x^2 - 2x}{|x-2|} = \frac{x(x-2)(x+1)}{2-x}.
$$

Passo 4

Repare que x-22-x = -1. Então a expressão simplifica-se a
$$\frac{x(x-2)(x+1)}{2-x} = -,x(x+1).
$$

Passo 5

Agora basta avaliar o polinômio -x(x+1) em x=2.
-,2cdot(2+1) = -6

Passo 6

Portanto, o limite existe e vale -6.

Resposta

-6

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