Calcule o limite, caso exista. Justifique
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{3 x^{2}-11 x-4}{x^{2}-4 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 4} \frac{3x^{2}-11x-4}{x^{2}-4x}.
Informações dadas: a função é a razão entre o polinômio 3x^{2}-11x-4 (numerador) e o polinômio x^{2}-4x (denominador). A pergunta é se esse limite existe quando x se aproxima de 4 e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar a substituição direta x=4 para ver se já obtemos um número.
Calculemos o numerador em x=4:
3\cdot 4^{2}-11\cdot 4-4 = 3\cdot 16 -44 -4 = 48-44-4 = 0.
Calculemos o denominador em x=4:
4^{2}-4\cdot 4 = 16-16 = 0.
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada 0/0. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta: é necessário simplificar a expressão algébrica antes de avaliar o limite.
Explicação curta sobre indeterminação: quando uma expressão racional dá 0/0 ao substituir o ponto de limite, costuma haver um fator comum que pode ser cancelado; essa situação é chamada de indeterminação porque o valor pode ser qualquer número dependendo de como se simplifica.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador. Ele tem fator comum x:
x^{2}-4x = x(x-4).
Fatorar quer dizer escrever o polinômio como produto de fatores mais simples; aqui foi apenas retirar o x comum.

Passo 4

Agora fatorar o numerador \;3x^{2}-11x-4.
Podemos encontrar as raízes usando a fórmula quadrática para ax^{2}+bx+c com a=3, b=-11, c=-4:
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} = \frac{11\pm\sqrt{(-11)^{2}-4\cdot 3\cdot(-4)}}{2\cdot 3}.
Calcule o discriminante:
(-11)^{2}-4\cdot 3\cdot(-4) = 121 + 48 = 169,
logo \sqrt{169}=13. Assim as raízes são
x = \frac{11\pm 13}{6}.
Isso dá as raízes x= \dfrac{11+13}{6} = \dfrac{24}{6}=4 e x=\dfrac{11-13}{6}=\dfrac{-2}{6}=-\dfrac{1}{3}.
Como as raízes são 4 e -\dfrac{1}{3}, o polinômio pode ser escrito (usando o fator 3 apropriado) como
3x^{2}-11x-4 = 3\Big(x-4\Big)\Big(x+\tfrac{1}{3}\Big).
Multiplicando 3 pelo segundo fator obtemos uma forma mais conveniente:
3\Big(x+\tfrac{1}{3}\Big) = 3x+1,
portanto
3x^{2}-11x-4 = (x-4)(3x+1).
Verificação rápida (ops, já fizemos mentalmente): expandindo (3x+1)(x-4) 3x^{2}-11x-4, portanto a fatoração está correta.

Passo 5

Reescrevendo a fração original com as fatorações obtidas:
\frac{3x^{2}-11x-4}{x^{2}-4x} = \frac{(x-4)(3x+1)}{x(x-4)}.
Para x\neq 4 podemos cancelar o fator comum (x-4), obtendo a expressão simplificada
\frac{3x+1}{x},\qquad x\neq 4.
Observação: o cancelamento é válido para x diferentes de 4; como estamos estudando o limite quando x se aproxima de 4 (e não o valor da função exatamente em 4), essa simplificação nos permite avaliar o limite.

Passo 6

A função simplificada \dfrac{3x+1}{x} é uma função racional que é contínua em x=4 (o denominador x não é zero em 4). Para limites de funções contínuas, o limite quando x\to 4 é simplesmente o valor da função em 4. Portanto
\lim_{x\to 4} \frac{3x^{2}-11x-4}{x^{2}-4x} = \lim_{x\to 4} \frac{3x+1}{x} = \frac{3\cdot 4+1}{4} = \frac{12+1}{4} = \frac{13}{4}.
Comentário final: a função original tem uma descontinuidade removível em x=4 (ela não está definida aí por causa do denominador zero), mas o limite existe e vale \tfrac{13}{4}. Mandou bem por checar a substituição direta primeiro — é o passo padrão.

Resposta

\dfrac{13}{4}

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