Calcule o limite, caso exista. Justifique
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a função é a razão entre o polinômio
(numerador) e o polinômio
(denominador). A pergunta é se esse limite existe quando
se aproxima de
e, se existir, qual é o seu valor.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar a substituição direta
para ver se já obtemos um número.
Calculemos o numerador em :
Calculemos o numerador em
Calculemos o denominador em
:
Portanto a substituição direta dá a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite pela substituição direta: é necessário simplificar a expressão algébrica antes de avaliar o limite.
Explicação curta sobre indeterminação: quando uma expressão racional dá
ao substituir o ponto de limite, costuma haver um fator comum que pode ser cancelado; essa situação é chamada de indeterminação porque o valor pode ser qualquer número dependendo de como se simplifica.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador. Ele tem fator comum
:
Fatorar quer dizer escrever o polinômio como produto de fatores mais simples; aqui foi apenas retirar o
comum.
Passo 4
Agora fatorar o numerador
.
Podemos encontrar as raízes usando a fórmula quadrática para com
,
,
:
Podemos encontrar as raízes usando a fórmula quadrática para
Calcule o discriminante:
logo
. Assim as raízes são
Isso dá as raízes
e
.
Como as raízes são
e
, o polinômio pode ser escrito (usando o fator
apropriado) como
Multiplicando
pelo segundo fator obtemos uma forma mais conveniente:
portanto
Verificação rápida (ops, já fizemos mentalmente): expandindo
dá
, portanto a fatoração está correta.
Passo 5
Reescrevendo a fração original com as fatorações obtidas:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão simplificada
Observação: o cancelamento é válido para
diferentes de
; como estamos estudando o limite quando
se aproxima de
(e não o valor da função exatamente em
), essa simplificação nos permite avaliar o limite.
Passo 6
A função simplificada
é uma função racional que é contínua em
(o denominador
não é zero em
). Para limites de funções contínuas, o limite quando
é simplesmente o valor da função em
. Portanto
Comentário final: a função original tem uma descontinuidade removível em
(ela não está definida aí por causa do denominador zero), mas o limite existe e vale
. Mandou bem por checar a substituição direta primeiro — é o passo padrão.