Calcule o limite, caso exista. Justifique
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A função que aparece no limite é
. - O ponto onde
se aproxima é . - A tarefa é determinar o valor do limite (se existe) e justificar a resposta.
- Devemos analisar comportamento possivelmente diferente vindo pela esquerda (
) e pela direita ( ) caso necessário.
Passo 2
Avalio os limites das partes separadamente usando continuidade quando aplicável. A exponencial é contínua, então
Usando isso, o limite do numerador é
Isto é um número positivo e diferente de zero (porque
).
Passo 3
Agora avalio o limite do denominador diretamente:
Portanto temos a forma “constante não nula dividido por algo que tende a zero”, o que sugere que o limite pode ser infinito (ou não existir), dependendo do sinal com que o denominador se aproxima de zero.
Passo 4
Para entender o sinal do denominador perto de
fatoro o polinômio. Lembre que
. Aplicando com
e
,
A ideia: perto de
o fator
é contínuo e não se anula em
, então o comportamento do denominador é dominado pelo fator
.
Passo 5
Avalio o valor do fator quadrático em
:
Como
e o fator é contínuo, existe um intervalo ao redor de
onde
permanece próximo de
e, em particular, é positivo. Logo, para
suficientemente perto de
temos que o sinal de
é igual ao sinal de
.
Passo 6
Com isso, reescrevo a fração perto de
como
Quando
, o numerador tende para a constante positiva
e o segundo fator do denominador tende para
. Portanto, o sinal da fração próximo de
é determinado pelo sinal de
:
- Se
(aproximação pela direita), então e o denominador é positivo pequeno, logo a fração tende para . - Se
(aproximação pela esquerda), então e o denominador é negativo pequeno, logo a fração tende para .
Isto pode ser escrito formalmente como
Passo 7
Como as duas semicontinuações (one-sided limits) são infinitos com sinais opostos, o limite bilateral
não existe como número finito nem como
único. Em palavras: não existe limite finito porque o denominador se anula enquanto o numerador tende a constante não nula; e não existe limite infinito bilateral porque os limites laterais são diferentes.
(Observação didática curta: isso é análogo ao caso clássico
, onde a direita vai para
e a esquerda para
, logo o limite bilateral não existe.)
Resposta
O limite bilateral