Calcule o limite, caso exista. Justifique
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{e^{x}-x+2}{x^{3}+8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -2}\frac{e^{x}-x+2}{x^{3}+8}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função que aparece no limite é \displaystyle \frac{e^{x}-x+2}{x^{3}+8}.
  • O ponto onde x se aproxima é x\to -2.
  • A tarefa é determinar o valor do limite (se existe) e justificar a resposta.
  • Devemos analisar comportamento possivelmente diferente vindo pela esquerda ( x\to -2^-) e pela direita ( x\to -2^+) caso necessário.

Passo 2

Avalio os limites das partes separadamente usando continuidade quando aplicável. A exponencial é contínua, então
\lim_{x\to -2} e^{x} = e^{-2}.
Usando isso, o limite do numerador é
\lim_{x\to -2}\big(e^{x}-x+2\big)=e^{-2}-(-2)+2=e^{-2}+4.
Isto é um número positivo e diferente de zero (porque e^{-2}>0).

Passo 3

Agora avalio o limite do denominador diretamente:
\lim_{x\to -2} \big(x^{3}+8\big)=(-2)^{3}+8=-8+8=0.
Portanto temos a forma “constante não nula dividido por algo que tende a zero”, o que sugere que o limite pode ser infinito (ou não existir), dependendo do sinal com que o denominador se aproxima de zero.

Passo 4

Para entender o sinal do denominador perto de x=-2 fatoro o polinômio. Lembre que a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}). Aplicando com a=x e b=2,
x^{3}+8=(x+2)\big(x^{2}-2x+4\big).
A ideia: perto de x=-2 o fator (x^{2}-2x+4) é contínuo e não se anula em x=-2, então o comportamento do denominador é dominado pelo fator (x+2).

Passo 5

Avalio o valor do fator quadrático em x=-2:
(-2)^{2}-2(-2)+4=4+4+4=12.
Como 12\neq 0 e o fator é contínuo, existe um intervalo ao redor de x=-2 onde \big(x^{2}-2x+4\big) permanece próximo de 12 e, em particular, é positivo. Logo, para x suficientemente perto de -2 temos que o sinal de x^{3}+8 é igual ao sinal de x+2.

Passo 6

Com isso, reescrevo a fração perto de -2 como
\frac{e^{x}-x+2}{x^{3}+8}=\frac{e^{x}-x+2}{(x+2)\big(x^{2}-2x+4\big)}.
Quando x\to -2, o numerador tende para a constante positiva \,e^{-2}+4>0\, e o segundo fator do denominador tende para \,12>0. Portanto, o sinal da fração próximo de -2 é determinado pelo sinal de (x+2):
  • Se x>-2 (aproximação pela direita), então x+2>0 e o denominador é positivo pequeno, logo a fração tende para +\infty.
  • Se x<-2 (aproximação pela esquerda), então x+2<0 e o denominador é negativo pequeno, logo a fração tende para -\infty.
Isto pode ser escrito formalmente como
\lim_{x\to -2^+}\frac{e^{x}-x+2}{x^{3}+8}=+\infty, \qquad \lim_{x\to -2^-}\frac{e^{x}-x+2}{x^{3}+8}=-\infty.

Passo 7

Como as duas semicontinuações (one-sided limits) são infinitos com sinais opostos, o limite bilateral \lim_{x\to -2} não existe como número finito nem como \pm\infty único. Em palavras: não existe limite finito porque o denominador se anula enquanto o numerador tende a constante não nula; e não existe limite infinito bilateral porque os limites laterais são diferentes.
(Observação didática curta: isso é análogo ao caso clássico \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}, onde a direita vai para +\infty e a esquerda para -\infty, logo o limite bilateral não existe.)

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -2^-}\frac{e^{x}-x+2}{x^{3}+8}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to -2^+}\frac{e^{x}-x+2}{x^{3}+8}=+\infty
O limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to -2}\frac{e^{x}-x+2}{x^{3}+8} não existe.

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