Calcule o limite, caso exista. Justifique
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função que aparece é
. - O ponto onde queremos o limite é
. - Note que
quando , logo o denominador anula-se em . - A função
é bem definida em todo e (paridade do cosseno).
Passo 2
Avalio o limite do numerador quando
. Como
é contínua, temos
Vou chamar essa constante de
Para ver que
não é zero:
, então
, logo
. Portanto o numerador tende para uma constante negativa e não nula.
Passo 3
Avalio o limite do denominador quando
:
Logo a expressão tem a forma “constante não nula dividido por zero”, o que sugere divergência para infinito (com sinal a determinar). Para decidir o sinal devemos estudar os limites laterais (uma vez que o denominador muda de sinal ao atravessar
).
Passo 4
Fatoro o denominador para entender o comportamento próximo de
:
Perto de
o fator
é aproximadamente
, isto é, é positivo e não se anula em
; o fator que realmente muda de sinal ao atravessar
é
. Uma maneira prática e precisa de ver isso é fazer a substituição
onde
. Então
Para
pequeno,
é próximo de
, portanto o sinal de
é o mesmo do sinal de
(ou seja, do sinal de
) muito perto de
.
Passo 5
Expresso o numerador usando a mesma substituição
. Pela continuidade (e diferenciabilidade) de
,
onde
e
quando
(de fato
). Assim a razão fica
Dividindo numerador e denominador por
(para
):
Como
, o termo dominante quando
é
, portanto o sinal e a magnitude do quociente são governados por
. Lembrando que
:
- Se
(isto é, ), então pequeno e é negativo grande em módulo, logo o quociente tende para . - Se
(isto é, ), então pequeno e é positivo grande, logo o quociente tende para .
Em termos do
original:
Passo 6
Como os limites laterais não coincidem (um vai para
e o outro para
), o limite bilateral
não existe. Também é correto dizer que não existe nem mesmo um infinito bilateral único, pois os sinais das divergências são opostos.