Calcule o limite, caso exista. Justifique
Passo 1
O enunciado pede para calcular (se existir) o seguinte limite e justificar:
Informações dadas: a expressão é a diferença entre
e
. A variável
tende para
. A tarefa é determinar o valor do limite e justificar por que esse valor é correto.
Passo 2
Observação inicial e domínio: para
temos
, então
está bem definida e real. Além disso, para esses
a expressão tem sentido e é não negativa, porque
, logo
. Vamos trabalhar para
grandes (tendendo a
.
Passo 3
Truque algébrico útil (racionalizar usando o conjugado): multiplicamos a expressão por
para simplificar sem alterar o valor:
Passo 4
Simplificando o numerador:
logo a expressão fica
Passo 5
Análise do limite da forma simplificada. Para
o denominador
é positivo e, como
, temos
Isso implica
Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
Passo 6
Conclusão: a expressão original é igual à fração acima para
e essa fração tende a
quando
. Portanto o limite existe e vale
.