Calcule o limite, caso exista. Justifique
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular (se existir) o seguinte limite e justificar:
\lim_{x\to\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}-2}\right).
Informações dadas: a expressão é a diferença entre x e \sqrt{x^{2}-2}. A variável x tende para +\infty. A tarefa é determinar o valor do limite e justificar por que esse valor é correto.

Passo 2

Observação inicial e domínio: para x>\sqrt{2} temos x^{2}-2>0, então \sqrt{x^{2}-2} está bem definida e real. Além disso, para esses x a expressão tem sentido e é não negativa, porque \sqrt{x^{2}-2}\le \sqrt{x^{2}}=x, logo x-\sqrt{x^{2}-2}\ge 0. Vamos trabalhar para x grandes (tendendo a +\infty.

Passo 3

Truque algébrico útil (racionalizar usando o conjugado): multiplicamos a expressão por \dfrac{x+\sqrt{x^{2}-2}}{x+\sqrt{x^{2}-2}} para simplificar sem alterar o valor:
x-\sqrt{x^{2}-2}=\left(x-\sqrt{x^{2}-2}\right)\cdot\frac{x+\sqrt{x^{2}-2}}{x+\sqrt{x^{2}-2}}=\frac{x^{2}-\left(x^{2}-2\right)}{x+\sqrt{x^{2}-2}}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
x^{2}-\left(x^{2}-2\right)=2,
logo a expressão fica
x-\sqrt{x^{2}-2}=\frac{2}{x+\sqrt{x^{2}-2}}.

Passo 5

Análise do limite da forma simplificada. Para x>\sqrt{2} o denominador x+\sqrt{x^{2}-2} é positivo e, como \sqrt{x^{2}-2}\ge 0, temos
x+\sqrt{x^{2}-2}\ge x.
Isso implica
0<\frac{2}{x+\sqrt{x^{2}-2}}\le\frac{2}{x}.
Como \lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x+\sqrt{x^{2}-2}}=0.

Passo 6

Conclusão: a expressão original é igual à fração acima para x>\sqrt{2} e essa fração tende a 0 quando x\to\infty. Portanto o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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