Determine uma função
que satisfaça as seguintes propriedades:
tenha exatamente uma assíntota horizontal, satisfazendo
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine uma função
que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
-
. -
tenha exatamente uma assíntota horizontal. -
. -
.
Informações dadas e implicações imediatas que eu devo usar:
- O ponto
pertence ao domínio , então a condição significa que a função deve se aproximar de quando tende a . - A condição
indica que a função deve ter um comportamento de tipo "diverge para " quando se aproxima de pela esquerda — isto é, existir uma assimptota vertical em . - Como o domínio é
, a única direção para procurar uma assíntota horizontal (no sentido ) é . Assim, ter “exatamente uma assíntota horizontal” significa que deve existir um único limite finito e não haver outro limite horizontal em outra direção do infinito (não há no domínio).
Passo 2
Vou explicar os conceitos que vou usar (devagar e de forma prática).
Definição de assíntota horizontal:
Aqui só podemos usar
porque o domínio termina em
. Ou seja, precisamos de um
tal que
Definição de assíntota vertical em
:
No nosso caso queremos isso em
.
Também vou usar limites simples de funções racionais do tipo
: para
o comportamento é determinado pelos graus dos polinômios e pelos coeficientes líderes.
Passo 3
Planejamento da construção da função (estratégia prática):
Queremos que:
- próximo de
pela esquerda a função vá para . Um modo simples é incluir um fator do tipo (note o sinal: para temos e ). - em
a função tenda a . Então vou construir como somado a um termo que se anula quando . - para existir uma única assíntota horizontal quando
, o termo adicional deve ter um limite finito quando .
Uma construção natural que atende esses pontos é combinar os dois desejos assim:
Escolho o numerador mais simples que é zero em
:
. Então proponho
Agora vou verificar passo a passo que essa
satisfaz todas as condições e explicar por que.
Passo 4
Verificação do limite em
:
Calculo o valor (e o limite) quando . A função é bem definida em
, e
Calculo o valor (e o limite) quando
Como a função é contínua em
(o denominador
é
), segue que
o que coincide com a exigência.
Comentário didático: escolher o numerador com fator
garante que a fração se anula em
, então a soma com
produz o limite pedido.
Passo 5
Verificação do comportamento em
(assíntota vertical):
Para perto de
vindo pela esquerda temos
e tende a
. O numerador
tende a
(positivo). Então a fração
tende a
. Logo
Para
Portanto existe uma assíntota vertical em
, e a condição
está satisfeita.
Dica prática: para gerar
ao aproximar-se de
pela esquerda, usei um denominador que tende a
e um numerador que tende a um número positivo.
Passo 6
Verificação do limite quando
(assíntota horizontal):
Para muito negativo, analiso a fração
Para
Dividindo numerador e denominador por
(para ver o comportamento quando
é grande) obtemos, para
,
Quando
temos
, então
Logo
Portanto a reta
é uma assíntota horizontal de
em
.
Explicação didática: para funções racionais com grau igual entre numerador e denominador, o limite em infinito é a razão dos coeficientes líderes. Aqui, escrevendo
vemos que tende a
.
Passo 7
Verificação de que existe exatamente uma assíntota horizontal:
- O domínio é
. Assim só há a direção para procurar assíntotas horizontais. Já mostramos que
logo existe uma assíntota horizontal
.
- Não há outra direção de
no domínio, e não aparece nenhuma outra assíntota horizontal em pontos finitos (assíntotas horizontais são sempre ligadas a limites em ). Portanto há exatamente uma assíntota horizontal.
Comentário amigável: isto garante a condição “exatamente uma assíntota horizontal” — não há como surgir outra porque só existe um infinito acessível no domínio.
Passo 8
Resumo das verificações (para ficar claro e como checklist que você pode repetir na prova):
- Dominio:
está bem definida para todo tal que , ou seja, para . Logo (compatível). -
(pois a fração se anula em ). -
(denominador tende a , numerador tende a ). -
, logo única assíntota horizontal .