Determine uma função f que satisfaça as seguintes propriedades:
\operatorname{Dom}(f)=(-\infty, 2), f tenha exatamente uma assíntota horizontal, satisfazendo \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=-3 e \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=+\infty.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine uma função f que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:
  • \operatorname{Dom}(f)=(-\infty,2).
  • f tenha exatamente uma assíntota horizontal.
  • \displaystyle\lim_{x\to0} f(x) = -3.
  • \displaystyle\lim_{x\to2^-} f(x) = +\infty.
Informações dadas e implicações imediatas que eu devo usar:
  • O ponto x=0 pertence ao domínio (-\infty,2), então a condição \lim_{x\to0} f(x)=-3 significa que a função deve se aproximar de -3 quando x tende a 0.
  • A condição \lim_{x\to2^-} f(x)=+\infty indica que a função deve ter um comportamento de tipo "diverge para +\infty" quando x se aproxima de 2 pela esquerda — isto é, existir uma assimptota vertical em x=2.
  • Como o domínio é (-\infty,2), a única direção para procurar uma assíntota horizontal (no sentido x\to\pm\infty) é x\to -\infty. Assim, ter “exatamente uma assíntota horizontal” significa que deve existir um único limite finito \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=L e não haver outro limite horizontal em outra direção do infinito (não há +\infty no domínio).

Passo 2

Vou explicar os conceitos que vou usar (devagar e de forma prática).
Definição de assíntota horizontal:
\text{A reta } y=L \text{ é assíntota horizontal para } f \text{ quando } \lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L.éí
Aqui só podemos usar x\to -\infty porque o domínio termina em 2. Ou seja, precisamos de um L tal que
\lim_{x\to -\infty} f(x)=L.
Definição de assíntota vertical em x_0:
\text{Se } \lim_{x\to x_0^-} f(x)=+\infty \text{ (ou }-\infty\text{)} \text{ então existe uma assíntota vertical } x=x_0.ãí
No nosso caso queremos isso em x_0=2.
Também vou usar limites simples de funções racionais do tipo \dfrac{\text{polinômio}}{\text{polinômio}}ôô: para x\to -\infty o comportamento é determinado pelos graus dos polinômios e pelos coeficientes líderes.

Passo 3

Planejamento da construção da função (estratégia prática):
Queremos que:
  • próximo de x=2 pela esquerda a função vá para +\infty. Um modo simples é incluir um fator do tipo \dfrac{1}{2-x} (note o sinal: para x\to2^- temos 2-x\to0^+ e \dfrac{1}{2-x}\to+\infty).
  • em x=0 a função tenda a -3. Então vou construir f como -3 somado a um termo que se anula quando x\to0.
  • para existir uma única assíntota horizontal quando x\to -\infty, o termo adicional deve ter um limite finito quando x\to -\infty.
Uma construção natural que atende esses pontos é combinar os dois desejos assim:
f(x) = -3 + \frac{\text{algo que vale }0\text{ em }x=0}{2-x}.
Escolho o numerador mais simples que é zero em x=0: x. Então proponho
f(x)= -3 + \frac{x}{2-x}.
Agora vou verificar passo a passo que essa f satisfaz todas as condições e explicar por que.

Passo 4

Verificação do limite em x=0:
Calculo o valor (e o limite) quando x\to0. A função é bem definida em x=0, e
f(0)= -3 + \frac{0}{2-0} = -3 + 0 = -3.
Como a função é contínua em x=0 (o denominador 2-x é 2\neq0), segue que
\lim_{x\to0} f(x) = f(0) = -3,
o que coincide com a exigência.
Comentário didático: escolher o numerador com fator x garante que a fração se anula em 0, então a soma com -3 produz o limite pedido.

Passo 5

Verificação do comportamento em x\to2^- (assíntota vertical):
Para x perto de 2 vindo pela esquerda temos 2-x>0 e tende a 0. O numerador x tende a 2 (positivo). Então a fração \dfrac{x}{2-x} tende a +\infty. Logo
\lim_{x\to 2^-} f(x) = \lim_{x\to 2^-}\left(-3 + \frac{x}{2-x}\right)= -3 + (+\infty)= +\infty.
Portanto existe uma assíntota vertical em x=2, e a condição \lim_{x\to2^-} f(x)=+\infty está satisfeita.
Dica prática: para gerar +\infty ao aproximar-se de 2 pela esquerda, usei um denominador que tende a 0^+ e um numerador que tende a um número positivo.

Passo 6

Verificação do limite quando x\to -\infty (assíntota horizontal):
Para x muito negativo, analiso a fração
\frac{x}{2-x}.
Dividindo numerador e denominador por x (para ver o comportamento quando |x| é grande) obtemos, para x\neq0,
\frac{x}{2-x} = \frac{1}{\tfrac{2}{x}-1}.
Quando x\to -\infty temos \tfrac{2}{x}\to0, então
\lim_{x\to -\infty} \frac{x}{2-x} = \frac{1}{0-1} = -1.
Logo
\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty}\left(-3 + \frac{x}{2-x}\right) = -3 + (-1) = -4.
Portanto a reta y=-4 é uma assíntota horizontal de f em x\to -\infty.
Explicação didática: para funções racionais com grau igual entre numerador e denominador, o limite em infinito é a razão dos coeficientes líderes. Aqui, escrevendo \dfrac{x}{2-x} = \dfrac{x}{-x+2} = \dfrac{1}{-1 + 2/x} vemos que tende a -1.

Passo 7

Verificação de que existe exatamente uma assíntota horizontal:
  • O domínio é (-\infty,2). Assim só há a direção x\to -\infty para procurar assíntotas horizontais. Já mostramos que
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -4,
logo existe uma assíntota horizontal y=-4.
  • Não há outra direção de x\to+\infty no domínio, e não aparece nenhuma outra assíntota horizontal em pontos finitos (assíntotas horizontais são sempre ligadas a limites em \pm\infty). Portanto há exatamente uma assíntota horizontal.
Comentário amigável: isto garante a condição “exatamente uma assíntota horizontal” — não há como surgir outra porque só existe um infinito acessível no domínio.

Passo 8

Resumo das verificações (para ficar claro e como checklist que você pode repetir na prova):
  • Dominio: f(x)= -3 + \dfrac{x}{2-x} está bem definida para todo x tal que 2-x\neq0, ou seja, para x\neq2. Logo \operatorname{Dom}(f)=(-\infty,2) (compatível).
  • \displaystyle\lim_{x\to0} f(x) = -3 (pois a fração se anula em 0).
  • \displaystyle\lim_{x\to2^-} f(x) = +\infty (denominador tende a 0^+, numerador tende a 2>0).
  • \displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x) = -4, logo única assíntota horizontal y=-4.

Resposta

f(x) = -3 + \frac{x}{2-x}

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