Calcule o limite, caso exista. Justifique
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-2 x+5}}{2 x-9}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular, se existir, o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-2x+5}}{2x-9}.
Informações dadas que são relevantes:
\text{numerador: }\sqrt{x^{2}-2x+5},\qquad \text{denominador: }2x-9.
Queremos saber o valor ao qual a expressão se aproxima quando x tende para -\infty (valores muito negativos).

Passo 2

Fórmulas e propriedades úteis que vou usar (explico para você entender bem):
  1. Para qualquer x real vale
\sqrt{x^{2}}=|x|.
Isto significa que a raiz quadrada de x^{2} é o valor absoluto de x. Ex.: se x=3 então \sqrt{x^{2}}=3; se x=-3 então \sqrt{x^{2}}=3 também, porque |-3|=3.
  1. Quando x\to -\infty temos x<0 a partir de algum ponto, portanto |x|=-x nesse limite (pois -x é positivo quando x é negativo).
  2. Estratégia prática para limites envolvendo polinômios e raízes: fatorar a maior potência de x que aparece dentro da raiz ou em todo o numerador/denominador, para transformar a expressão em termos de 1/x que tende a 0. Isso deixa claro o comportamento dominante quando x vai a infinito (ou -\infty).

Passo 3

Aplicando a fatoração dentro da raiz: extraio x^{2} de \sqrt{x^{2}-2x+5}. Ao fazer isso, uso que x^{2} é não negativo, então
\sqrt{x^{2}-2x+5}=\sqrt{x^{2}\!\left(1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^{2}}\right)}.
Como \sqrt{x^{2}}=|x|, obtemos
\sqrt{x^{2}-2x+5}=|x|\sqrt{\,1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^{2}}\,}.

Passo 4

Reescrevo a fração original usando o resultado do passo anterior:
\frac{\sqrt{x^{2}-2x+5}}{2x-9} = \frac{|x|}{2x-9}\,\sqrt{\,1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^{2}}\,}.
Como estamos calculando o limite quando x\to -\infty, a partir de algum ponto x é negativo, então |x|=-x. Substituo:
\frac{|x|}{2x-9}=\frac{-x}{2x-9}.

Passo 5

Simplifico a fração \dfrac{-x}{2x-9} dividindo numerador e denominador por x (isso é válido para x\neq 0, e no limite x\to -\infty estamos longe de 0):
\frac{-x}{2x-9} =\frac{-x}{x\left(2-\dfrac{9}{x}\right)} =\frac{-1}{2-\dfrac{9}{x}}.
Portanto a expressão original fica
\frac{\sqrt{x^{2}-2x+5}}{2x-9} = \frac{-1}{2-\dfrac{9}{x}}\;\sqrt{\,1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^{2}}\,}.

Passo 6

Agora aplico limites em partes, usando que funções contínuas preservam limites e que \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to -\infty.
Avalio primeiro a raiz:
\lim_{x\to -\infty}\sqrt{\,1-\frac{2}{x}+\frac{5}{x^{2}}\,} =\sqrt{\;1-0+0\;}=1,
porque 1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{5}{x^{2}}\to 1 e a raiz quadrada é contínua perto de 1.
Avalio a outra parte:
\lim_{x\to -\infty}\frac{-1}{2-\dfrac{9}{x}} =\frac{-1}{2-0}=\frac{-1}{2}.
Como o produto de limites é o limite do produto (quando ambos existem finitos), tenho
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-2x+5}}{2x-9} =\left(\frac{-1}{2}\right)\cdot 1 = -\frac{1}{2}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: a raiz cresce em ordem |x| e o denominador cresce em ordem x; como x é negativo, o quociente tem sinal negativo e o fator dominante dá -1/2. Tudo consistente.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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