Calcule o limite, caso exista. Justifique
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular, se existir, o limite
Informações dadas que são relevantes:
Queremos saber o valor ao qual a expressão se aproxima quando
tende para
(valores muito negativos).
Passo 2
Fórmulas e propriedades úteis que vou usar (explico para você entender bem):
- Para qualquer
real vale
Isto significa que a raiz quadrada de
é o valor absoluto de
. Ex.: se
então
; se
então
também, porque
.
-
Quando
temos a partir de algum ponto, portanto nesse limite (pois é positivo quando é negativo). -
Estratégia prática para limites envolvendo polinômios e raízes: fatorar a maior potência de
que aparece dentro da raiz ou em todo o numerador/denominador, para transformar a expressão em termos de que tende a . Isso deixa claro o comportamento dominante quando vai a infinito (ou ).
Passo 3
Aplicando a fatoração dentro da raiz: extraio
de
. Ao fazer isso, uso que
é não negativo, então
Como
, obtemos
Passo 4
Reescrevo a fração original usando o resultado do passo anterior:
Como estamos calculando o limite quando
, a partir de algum ponto
é negativo, então
. Substituo:
Passo 5
Simplifico a fração
dividindo numerador e denominador por
(isso é válido para
, e no limite
estamos longe de
):
Portanto a expressão original fica
Passo 6
Agora aplico limites em partes, usando que funções contínuas preservam limites e que
quando
.
Avalio primeiro a raiz:
porque
e a raiz quadrada é contínua perto de
.
Avalio a outra parte:
Como o produto de limites é o limite do produto (quando ambos existem finitos), tenho
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida: a raiz cresce em ordem
e o denominador cresce em ordem
; como
é negativo, o quociente tem sinal negativo e o fator dominante dá
. Tudo consistente.