Calcule o limite, caso exista: \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{3}+9 x^{2}+12 x+4}{-x^{3}-2 x^{2}+4 x+8}

Passo 1

Resumindo o enunciado: calcular
\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}.
O conteúdo aqui é limite de função racional em ponto onde o denominador se anula, o que pode gerar assíntota vertical.

Passo 2

Avalia-se numerador e denominador em x=2:
Numerador:
2\cdot2^3 + 9\cdot2^2 + 12\cdot2 + 4 = 16 + 36 + 24 + 4 = 80.
Denominador:
-2^3 - 2\cdot2^2 + 4\cdot2 + 8 = -8 - 8 + 8 + 8 = 0.
Como o numerador tende a 80\neq0 e o denominador vai a zero, temos descontinuidade vertical em x=2.

Passo 3

Para estudar o sinal do denominador perto de x=2, fatoramos:
-x^3 - 2x^2 + 4x + 8 = -\bigl(x^3 + 2x^2 - 4x - 8\bigr) = -\bigl((x+2)(x^2-4)\bigr) = -\bigl((x+2)^2(x-2)\bigr).
Note que (x+2)^2>0 sempre, então o sinal do denominador próximo a x=2 é o mesmo de - (x-2).

Passo 4

Analisando as aproximações laterais:
Para x\to2^-, tem-se x-2<0 \Rightarrow - (x-2)>0, logo
\displaystyle \frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}\to +\infty.
Para x\to2^+, tem-se x-2>0 \Rightarrow - (x-2)<0, logo
\displaystyle \frac{2x^3+9x^2+12x+4}{-x^3-2x^2+4x+8}\to -\infty.

Resposta

O limite não existe, pois
\lim_{x\to2^-} = +\infty e \lim_{x\to2^+} = -\infty.

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