Resolva os seguintes problemas:
(a) Se um objeto é jogado para cima a 64 pés por segundo de uma altura de 20 pés, sua altura
S depois de
x segundos é dado por
i. Qual a velocidade média nos dois primeiros segundos depois de a bola ser lançada?
ii. Qual a velocidade exatamente em
t=2 ?
(b) Coloca-se uma late de refrigerante em uma geladeira. A temperatura
H , em Fahrenheit
\left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right) , da lata em função do tempo
t , em horas, é dada por
H=40+30 e^{-2 t}
i. Obtenha a taxa segundo a qual a temperatura do refrigerante está variando (
{ }^{\circ} \mathrm{F} / hora ).
ii. Qual o sinal de
d H / d t ? Justifique a sua resposta.
iii. Em que instante
t \geq 0 o módulo de
d H / d t é o maior possível? Explique sua resposta em termos do refrigerante.
(c) O lado de um cubo mede 25 cm , com erro possível de
\pm 1 \mathrm{~cm} .
i. Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado.
ii. Estime os erros percentuais no lado e no volume.
(d) O alcance
R de um projétil é
R=\frac{v_{0}^{2}}{32} \operatorname{sen}(2 \theta)
onde
v_{0} é a velocidade inicial em pés por segundo e
\theta é o ângulo de elevação com a horizontal.
i. A aceleração da gravidade
g equivale a 32 . Se
v_{0}=2.200 pés por segundo e
\theta varia de
10^{\circ} para
11^{\circ} , use diferenciais para estimar a variação no alcance.
ii. A aceleração da gravidade equivale a
g . Ache o ângulo
\theta tal que o alcance seja máximo.
(e) Um avião segue uma rota que passa diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Considere
s como sendo a distância (em milhas) do avião até a estação e
x a distância horizontal do avião à estação. Sabendo que
s decresce a uma taxa de 400 milhas por hora e que o avião está a uma altura de 6 milhas em relação ao solo e a 10 milhas em relação a estação, qual a velocidade do avião?
(f) O lançamento de uma nave espacial está sendo filmado por uma câmera que se encontra no solo. A nave está se elevando na direção vertical e sua função posição é
s=50 t^{2} , onde
s é medido em pés e
t é medido em segundos. A distância da câmera até a plataforma de lançamento é de 2.000 pés. Calcule a taxa de variação do ângulo de elevação da câmera, após 10 segundos do lançamento.
(g) Enche-se um balão esférico a uma taxa de 4,5 pés cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir 2 pés.
(h) i. Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel por a
\ 100
por unidade. Se o custo de produção total diário em dólares para ç ã á ó x
unidades for C(x)=100.000+$
50 x+0,0025 x^{2} e se a capacidade de produção diária for de, no máximo, 7.000
unidades, quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro?
ii. Beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção diária?