O valor do limite \lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^{2}-3 x+2}{x-2}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular o limite
\lim_{x \to 2} \frac{2x^{2}-3x+2}{x-2}.
O conteúdo aqui é análise de limite de função racional em ponto de descontinuidade, usando avaliação da forma e sinais para determinar se há divergência.

Passo 2

Avaliar o numerador em x=2:
2\cdot(2)^{2}-3\cdot2+2 = 8 - 6 + 2 = 4.
Portanto, o numerador tende a \emph{4}, que é diferente de zero, enquanto o denominador tende a zero. Logo, temos uma forma \frac{\text{constante}\neq0}{0}, que indica divergência (quando o numerador não anula o zero do denominador).

Passo 3

Para entender a direção da divergência, analisamos o sinal do quociente perto de x=2:
\text{Numerador}\approx 4>0 \quad\text{e}\quad \text{Denominador}=x-2.
  • Se x\to2^{+}, então x-2>0 e \frac{2x^{2}-3x+2}{x-2}\to +\infty.
  • Se x\to2^{-}, então x-2<0 e \frac{2x^{2}-3x+2}{x-2}\to -\infty.

Passo 4

Como os limites laterais não coincidem ( +\infty pela direita e -\infty pela esquerda), o limite bilateral
\lim_{x \to 2} \frac{2x^{2}-3x+2}{x-2}
não existe.

Resposta

O limite não existe (tende a +\infty por x\to2^{+} e a -\infty por x\to2^{-}).

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