Calcule o limite: \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+x^{2}+6 x}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 2} \frac{x^{3}+x^{2}+6x}{x^{2}+4}.
O conteúdo envolvido é limite de função racional. Para resolver, vamos verificar se ao substituir x=2 obtemos alguma indeterminação e, se não, usar a continuidade da função.

Passo 2

Sabemos que polinômios são contínuos em todo ponto e que uma função racional é contínua sempre que o denominador for diferente de zero. Ao substituir x=2 no denominador, temos
2^{2}+4 = 4 + 4 = 8 \neq 0,
logo não há indeterminação. Assim, o limite coincide com o valor da função em x=2.

Passo 3

Agora, calculamos o valor da função em x=2. No numerador:
2^{3} + 2^{2} + 6\cdot 2 = 8 + 4 + 12 = 24.
No denominador já vimos que dá
2^{2} + 4 = 8.
Portanto,
\frac{24}{8} = 3.

Resposta

3

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