Resolva os seguintes problemas:
(a) Se um objeto é jogado para cima a 64 pés por segundo de uma altura de 20 pés, sua altura S depois de x segundos é dado por
S(x)=20+64 x-16 x^{2}
i. Qual a velocidade média nos dois primeiros segundos depois de a bola ser lançada?
ii. Qual a velocidade exatamente em t=2 ?
(b) Coloca-se uma late de refrigerante em uma geladeira. A temperatura H, em Fahrenheit \left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right), da lata em função do tempo t, em horas, é dada por H=40+30 e^{-2 t}
i. Obtenha a taxa segundo a qual a temperatura do refrigerante está variando ( { }^{\circ} \mathrm{F} / hora ).
ii. Qual o sinal de d H / d t ? Justifique a sua resposta.
iii. Em que instante t \geq 0 o módulo de d H / d t é o maior possível? Explique sua resposta em termos do refrigerante.
(c) O lado de um cubo mede 25 cm , com erro possível de \pm 1 \mathrm{~cm}.
i. Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado.
ii. Estime os erros percentuais no lado e no volume.
(d) O alcance R de um projétil é
R=\frac{v_{0}^{2}}{32} \operatorname{sen}(2 \theta)
onde v_{0} é a velocidade inicial em pés por segundo e \theta é o ângulo de elevação com a horizontal.
i. A aceleração da gravidade g equivale a 32 . Se v_{0}=2.200 pés por segundo e \theta varia de 10^{\circ} para 11^{\circ}, use diferenciais para estimar a variação no alcance.
ii. A aceleração da gravidade equivale a g. Ache o ângulo \theta tal que o alcance seja máximo.
(e) Um avião segue uma rota que passa diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Considere s como sendo a distância (em milhas) do avião até a estação e x a distância horizontal do avião à estação. Sabendo que s decresce a uma taxa de 400 milhas por hora e que o avião está a uma altura de 6 milhas em relação ao solo e a 10 milhas em relação a estação, qual a velocidade do avião?
(f) O lançamento de uma nave espacial está sendo filmado por uma câmera que se encontra no solo. A nave está se elevando na direção vertical e sua função posição é s=50 t^{2}, onde s é medido em pés e t é medido em segundos. A distância da câmera até a plataforma de lançamento é de 2.000 pés. Calcule a taxa de variação do ângulo de elevação da câmera, após 10 segundos do lançamento.
(g) Enche-se um balão esférico a uma taxa de 4,5 pés cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir 2 pés.
(h) i. Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel por a \ 100 por unidade. Se o custo de produção total diário em dólares paraçãáóx unidades forC(x)=100.000+$ 50 x+0,0025 x^{2} e se a capacidade de produção diária for de, no máximo, 7.000
unidades, quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro?
ii. Beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção diária?

Passo 1

O enunciado reúne diversos tópicos de cálculo: taxas médias e instantâneas de variação (derivadas), uso de diferenciais para estimar erros, aplicações de derivadas em aproximações (diferenciais), problemas de taxas relacionadas e otimização de lucro. Vamos resolver cada item sistematicamente usando:
  1. Para taxas médias: \text{velocidade média}=\dfrac{S(t_2)-S(t_1)}{t_2-t_1}.é
  2. Para taxas instantâneas: derivada S'(t).
  3. Para diferencias: dV\simeq V'(x)\,dx.
  4. Para taxas relacionadas: derivar a equação que relaciona variáveis implicadas no tempo.
  5. Para otimização: derivada da função lucro igual a zero e respeitar restrições de capacidade.

Passo 2

(a) Sabe-se
S(x)=20+64x-16x^2.
(i) A velocidade média nos dois primeiros segundos é
\frac{S(2)-S(0)}{2-0} =\frac{\bigl(20+64\cdot2-16\cdot2^2\bigr)-20}{2} =\frac{84-20}{2}=32\quad\text{pés/s}.é
(ii) A velocidade instantânea é S'(x)=64-32x. Em t=2:
S'(2)=64-32\cdot2=0\quad\text{pés/s}.é

Passo 3

(b) A temperatura é H(t)=40+30e^{-2t}.
(i) Derivando:
\frac{dH}{dt} =30\cdot(-2)e^{-2t} =-60e^{-2t} \quad({}^\circ\mathrm{F}/\mathrm{h}).
(ii) Como e^{-2t}>0, tem-se \tfrac{dH}{dt}<0; a lata esfria.
(iii) O módulo \bigl|\tfrac{dH}{dt}\bigr|=60e^{-2t} é máximo quando e^{-2t} é máximo, isto é, em t=0. Logo, a taxa de resfriamento é mais intensa ao colocar na geladeira.

Passo 4

(c) Para um cubo de lado L=25\pm1 cm, o volume é V=L^3.
(i) Diferencial:
dV=3L^2\,dL =3\cdot25^2\cdot(1) =1875\quad\text{cm}^3.
(ii) Erro percentual no lado:
\frac{dL}{L}=\frac{1}{25}=0{,}04=4\%.
No volume, \frac{dV}{V}=3\frac{dL}{L}=3\cdot4\%=12\%.

Passo 5

(d) O alcance
R=\frac{v_0^2}{32}\sin(2\theta).
(i) Diferencial:
dR \approx\frac{v_0^2}{32}\cdot2\cos(2\theta)\,d\theta =\frac{v_0^2}{16}\cos(2\theta)\,d\theta.
Com v_0=2200 pés/s, \theta de 10^\circ a 11^\circ ( d\theta=\pi/180 rad) e \cos20^\circ\approx0{,}9397:
dR\approx\frac{2200^2}{16}\times0{,}9397\times\frac{\pi}{180} \approx4958\quad\text{pés}.é
(ii) O alcance é máximo quando \sin(2\theta)=1\Rightarrow2\theta=90^\circ\Rightarrow\theta=45^\circ.

Passo 6

(e) Relação entre distância ao radar s, horizontal x e altura fixa 6 mi:
s^2=x^2+6^2.
Diferenciando: 2s\,\frac{ds}{dt}=2x\,\frac{dx}{dt}. Logo,
\frac{dx}{dt} =\frac{s}{x}\frac{ds}{dt}.
Com s=10 mi, ds/dt=-400 mi/h e x=\sqrt{10^2-6^2}=8 mi:
\frac{dx}{dt} =\frac{10\cdot(-400)}{8}=-500\quad\text{mi/h}.
O sinal negativo indica que x decresce; a velocidade é 500 mi/h em módulo.

Passo 7

(f) A nave sobe com s=50t^2 (ft), a câmera está a 2000 ft horizontal. Seja \theta o ângulo de elevação:
\tan\theta=\frac{s}{2000}.
Derivando: \operatorname{sec}^2\theta\,\frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{2000}\frac{ds}{dt}. Assim,
\frac{d\theta}{dt} =\cos^2\theta\;\frac{1}{2000}\;100t.
Em t=10: s=50\cdot100=5000 ft, \frac{ds}{dt}=1000 ft/s e
\cos\theta=\frac{2000}{\sqrt{2000^2+5000^2}}\approx0{,}3714.
Portanto
\frac{d\theta}{dt} \approx0{,}3714^2\cdot\frac{1000}{2000} \approx0{,}069\quad\text{rad/s}.

Passo 8

(g) Volume de esfera V=\frac{4}{3}\pi r^3, com dV/dt=4{,}5 ft ^3/min.
\frac{dV}{dt} =4\pi r^2\frac{dr}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dr}{dt} =\frac{4{,}5}{4\pi\,(2)^2} =\frac{4{,}5}{16\pi} \approx0{,}0894\quad\text{ft/min}.

Passo 9

(h) Preço de venda \$100 por unidade, custo C(x)=100000+50x+0{,}0025x^2, capacidade máxima 7000.
Lucro P(x)=100x-C(x)=50x-100000-0{,}0025x^2. Derivando:
P'(x)=50-0{,}005x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=10000.
Como a capacidade é 7000, o máximo viável é x=7000.
(ii) Como o ótimo não restrito ( 10000) excede a capacidade, aumentar capacidade seria benéfico.

Resposta

(a)(i) 32 pés/s
(a)(ii) 0 pés/s
(b)(i) \dfrac{dH}{dt}=-60e^{-2t} °F/h
(b)(ii) Negativo, pois e^{-2t}>0
(b)(iii) t=0
(c)(i) 1875 cm ^3
(c)(ii) 4\% no lado e 12\% no volume
(d)(i) Aproximadamente 4958 pés
(d)(ii) \theta=45^\circ
(e) -500 mi/h (em módulo 500 mi/h)
(f) 0{,}069 rad/s
(g) \dfrac{4{,}5}{16\pi}\approx0{,}0894 ft/min
(h)(i) 7000 unidades
(h)(ii) Sim, pois o ótimo sem restrição ( 10000) é maior que 7000.

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