Resolva os seguintes problemas:
(a) Se um objeto é jogado para cima a 64 pés por segundo de uma altura de 20 pés, sua altura S depois de x segundos é dado por
S(x)=20+64 x-16 x^{2}
i. Qual a velocidade média nos dois primeiros segundos depois de a bola ser lançada?
ii. Qual a velocidade exatamente em t=2 ?
(b) Coloca-se uma late de refrigerante em uma geladeira. A temperatura H, em Fahrenheit \left({ }^{\circ} \mathrm{F}\right), da lata em função do tempo t, em horas, é dada por H=40+30 e^{-2 t}
i. Obtenha a taxa segundo a qual a temperatura do refrigerante está variando ( { }^{\circ} \mathrm{F} / hora ).
ii. Qual o sinal de d H / d t ? Justifique a sua resposta.
iii. Em que instante t \geq 0 o módulo de d H / d t é o maior possível? Explique sua resposta em termos do refrigerante.
(c) O lado de um cubo mede 25 cm , com erro possível de \pm 1 \mathrm{~cm}.
i. Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado.
ii. Estime os erros percentuais no lado e no volume.
(d) O alcance R de um projétil é
onde v_{0} é a velocidade inicial em pés por segundo e \theta é o ângulo de elevação com a horizontal.
i. A aceleração da gravidade g equivale a 32 . Se v_{0}=2.200 pés por segundo e \theta varia de 10^{\circ} para 11^{\circ}, use diferenciais para estimar a variação no alcance.
ii. A aceleração da gravidade equivale a g. Ache o ângulo \theta tal que o alcance seja máximo.
(e) Um avião segue uma rota que passa diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Considere s como sendo a distância (em milhas) do avião até a estação e x a distância horizontal do avião à estação. Sabendo que s decresce a uma taxa de 400 milhas por hora e que o avião está a uma altura de 6 milhas em relação ao solo e a 10 milhas em relação a estação, qual a velocidade do avião?
(f) O lançamento de uma nave espacial está sendo filmado por uma câmera que se encontra no solo. A nave está se elevando na direção vertical e sua função posição é s=50 t^{2}, onde s é medido em pés e t é medido em segundos. A distância da câmera até a plataforma de lançamento é de 2.000 pés. Calcule a taxa de variação do ângulo de elevação da câmera, após 10 segundos do lançamento.
(g) Enche-se um balão esférico a uma taxa de 4,5 pés cúbicos por minuto. Calcule a taxa de variação do raio quando este medir 2 pés.
(h) i. Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel por a \ 100por unidade. Se o custo de produção total diário em dólares paraxunidades forC(x)=100.000+$50 x+0,0025 x^{2} e se a capacidade de produção diária for de, no máximo, 7.000
unidades, quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro?
ii. Beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção diária?
Passo 1
O enunciado reúne diversos tópicos de cálculo: taxas médias e instantâneas de variação (derivadas), uso de diferenciais para estimar erros, aplicações de derivadas em aproximações (diferenciais), problemas de taxas relacionadas e otimização de lucro. Vamos resolver cada item sistematicamente usando:
Para taxas médias: \text{velocidade média}=\dfrac{S(t_2)-S(t_1)}{t_2-t_1}.
Para taxas instantâneas: derivada S'(t).
Para diferencias: dV\simeq V'(x)\,dx.
Para taxas relacionadas: derivar a equação que relaciona variáveis implicadas no tempo.
Para otimização: derivada da função lucro igual a zero e respeitar restrições de capacidade.
Passo 2
(a) Sabe-se
S(x)=20+64x-16x^2.
(i) A velocidade média nos dois primeiros segundos é
(ii) Como e^{-2t}>0, tem-se \tfrac{dH}{dt}<0; a lata esfria.
(iii) O módulo \bigl|\tfrac{dH}{dt}\bigr|=60e^{-2t} é máximo quando e^{-2t} é máximo, isto é, em t=0. Logo, a taxa de resfriamento é mais intensa ao colocar na geladeira.
Passo 4
(c) Para um cubo de lado L=25\pm1 cm, o volume é V=L^3.
(i) Diferencial:
Como a capacidade é 7000, o máximo viável é x=7000.
(ii) Como o ótimo não restrito (10000) excede a capacidade, aumentar capacidade seria benéfico.
Resposta
(a)(i) 32 pés/s
(a)(ii) 0 pés/s
(b)(i) \dfrac{dH}{dt}=-60e^{-2t} °F/h
(b)(ii) Negativo, pois e^{-2t}>0
(b)(iii) t=0
(c)(i) 1875 cm^3
(c)(ii) 4\% no lado e 12\% no volume
(d)(i) Aproximadamente 4958 pés
(d)(ii) \theta=45^\circ
(e) -500 mi/h (em módulo 500 mi/h)
(f) 0{,}069 rad/s
(g) \dfrac{4{,}5}{16\pi}\approx0{,}0894 ft/min
(h)(i) 7000 unidades
(h)(ii) Sim, pois o ótimo sem restrição (10000) é maior que 7000.