Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x -infty ln (1+e^x)x^5

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -inftyln(1+e^x)x^5. O tema envolve limites de funções compostas e comparação de taxas de crescimento (logaritmo, exponencial e polinômio).

Passo 2

Quando xto -infty, temos e^xto 0. Para argumentos pequenos u, a expansão de Taylor de ln(1+u) ln(1+u)approx u. Aplicando isso com u=e^x, conclui-se que ln(1+e^x)sim e^x para x muito negativo.

Passo 3

Substituindo a aproximação, o quociente fica aproximadamente
ln(1+e^x)x^5sime^xx^5,

Passo 4

Agora usamos o fato de que a função exponencial decai muito mais rápido que qualquer potência polinomial: para todo n>0,
limxto -inftye^x|x|^n=0,

Passo 5

No nosso caso, x^5=(-|x|)^5=-|x|^5, então e^x/x^5 tende a zero (o sinal não altera o fato de que módulo vai a zero). Portanto o limite existe e vale zero.

Resposta

0

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