Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O tema envolve limites de funções compostas e comparação de taxas de crescimento (logaritmo, exponencial e polinômio).
Passo 2
Quando
, temos
. Para argumentos pequenos
, a expansão de Taylor de
dá
. Aplicando isso com
, conclui-se que
para
muito negativo.
Passo 3
Substituindo a aproximação, o quociente fica aproximadamente
Passo 4
Agora usamos o fato de que a função exponencial decai muito mais rápido que qualquer potência polinomial: para todo
,
Passo 5
No nosso caso,
, então
tende a zero (o sinal não altera o fato de que módulo vai a zero). Portanto o limite existe e vale zero.
Resposta
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