Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x infty raiz2 x^4+1x-2

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite limxtoinftyraiz2x^4+1x-2. O assunto é limites no infinito e vamos precisar entender o comportamento assintótico de funções de alto grau e usar fatoração em radicais.

Passo 2

Dentro da raiz, o termo dominante para x grande é 2x^4. Podemos então escrever raiz2x^4+1 = raizx^4(2 + tfrac1x^4) e aplicar a propriedade raizab=raiz araiz b.
Extraindo x^2 do radical, fica raiz2x^4+1 = x^2raiz2 + tfrac1x^4. Substituindo na fração original: raiz2x^4+1x-2 = x^2raiz2 + tfrac1x^4x - 2

Passo 3

Para simplificar, dividimos numerador e denominador por x: x^2raiz2 + tfrac1x^4x(1 - tfrac2x) = xraiz2 + tfrac1x^41 - tfrac2x

Passo 4

Quando xtoinfty, temos tfrac1x^4to0 e tfrac2xto0. Então raiz2 + tfrac1x^4toraiz2 e 1-tfrac2xto1, de modo que a expressão cresce como xraiz2 e diverge para mais infinito.
Portanto, o limite não é um número finito: a expressão cresce sem limite e o limite é +infty.

Resposta

+\infty

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