Calcule o limite, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x infty raizx+raizx+raizxraizx+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxtoinftyraizx+raizx+raizxraizx+1
Isso é um problema de limites no infinito envolvendo radicais. Vamos precisar usar a ideia de fatorar x dentro das raízes e aproveitar que, para xtoinfty, raiz1+varepsilonto1 se varepsilonto0.

Passo 2

Para o denominador, fatoramos x dentro da raiz:
raizx+1=raizx,raiz1+1x
Como limxtoinfty1x=0, temos
limxtoinftyraiz1+1x=1
Logo
raizx+1simraizx(xtoinfty)

Passo 3

No numerador, primeiro note que
A(x)=raizx+raizx=raizx,raiz1+raizxx= raizx,raiz1+1raizx
E como limxtoinfty1raizx=0, segue
A(x)simraizx

Passo 4

Agora escrevemos o numerador completo:
raizx+raizx+raizx =raizx+ A(x)=raizx,raiz1+A(x)x
Como vimos, A(x)/xsimraizx/x=1/raizxto0, então
raiz1+A(x)xto1
e, portanto,
raizx+raizx+raizxsimraizx

Passo 5

Juntando as duas estimativas:
raizx+raizx+raizxraizx+1 simraizxraizx=1
Como todo o processo leva a um valor finito, o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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